Question

Una circunferencia con centro $O$ tiene área $156\pi.$ El triángulo $ABC$ es equilátero, $\overline{BC}$ es una cuerda de la circunferencia, $OA = 4\sqrt{3},$ y el punto $O$ está fuera del $\triangle ABC.$ ¿Cuál es la longitud del lado del $\triangle ABC$ ?

A circle with center $O$ has area $156\pi.$ Triangle $ABC$ is equilateral, $\overline{BC}$ is a chord on the circle, $OA = 4\sqrt{3},$ and point $O$ is outside $\triangle ABC.$ What is the side length of $\triangle ABC?$

$2\sqrt{3}$

$6$

$4\sqrt{3}$

$12$

$18$

Solución:

Considera el siguiente diagrama:

Usando la fórmula del área de una circunferencia, tenemos que $BO = \sqrt{156}$ por ser un radio.

Extiende $\overline{AO}$ hasta cortar $\overline{BC}$ en $X.$ Sea $s$ la longitud del lado del $\triangle ABC.$

Entonces tenemos que $BX = \dfrac{s}{2}$ y $AX = \dfrac{s\sqrt3}{2}.$

Tenemos que $\triangle OXB$ es rectángulo, lo que significa que podemos aplicar el Teorema de Pitágoras. Esto nos da $(\sqrt{156})^2 = \left(\dfrac{s}{2}\right)^2$ $+ \left(\dfrac{s\sqrt3}{2} + 4\sqrt3\right)^2.$

Simplificando, obtenemos $156 = s^2 + 12s + 48$ $s^2 + 12s - 108 = 0$ $(s - 6)(s + 18) = 0.$

Como $s$ es positivo, debemos tener que $s = 6.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

Using the formula for the area of a circle, we have that $BO = \sqrt{156}$ since it is a radius.

Extend $\overline{AO}$ to intersect $\overline{BC}$ at $X.$ Let $s$ be the side length of $\triangle ABC.$

Then we have that $BX = \dfrac{s}{2}$ and $AX = \dfrac{s\sqrt3}{2}.$

We have that $\triangle OXB$ is right, which means that we can apply the Pythagorean Theorem. This gives us $(\sqrt{156})^2 = \left(\dfrac{s}{2}\right)^2$ $+ \left(\dfrac{s\sqrt3}{2} + 4\sqrt3\right)^2.$

Simplifying, we get $156 = s^2 + 12s + 48$ $s^2 + 12s - 108 = 0$ $(s - 6)(s + 18) = 0.$

Since $s$ is positive, we must have that $s = 6.$

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 19

Solución:

El Problema 19 en otros años