Question

Dos circunferencias están fuera del hexágono regular $ABCDEF.$ La primera es tangente a $\overline{AB},$ y la segunda es tangente a $\overline{DE}.$ Ambas son tangentes a las rectas $BC$ y $FA.$ ¿Cuál es la razón entre el área de la segunda circunferencia y la de la primera?

Two circles lie outside regular hexagon $ABCDEF.$ The first is tangent to $\overline{AB},$ and the second is tangent to $\overline{DE}.$ Both are tangent to lines $BC$ and $FA.$ What is the ratio of the area of the second circle to that of the first circle?

$18$

$27$

$36$

$81$

$108$

Solución:

Considera el siguiente diagrama:

Supongamos que el hexágono regular tiene lado $1.$ La circunferencia más pequeña está inscrita en un triángulo equilátero de lado $1.$

El inradio de este triángulo equilátero es $\dfrac{\sqrt3}{6}.$ El área de la circunferencia es entonces $\pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2 = \dfrac{\pi}{12}.$

Sea $O$ el centro de la circunferencia más grande. Traza la perpendicular desde $O$ hacia $\overline{GH}$ con pie en $J.$ Traza $\overline{OG}.$

Tenemos que $\triangle OJG$ es rectángulo. Como $\angle HGI = 60^{\circ},$ también tenemos que $\triangle OJG$ es un triángulo $30-60-90$ .

Sea $OJ = r.$ Entonces $OG = 2r.$ También tenemos que $OG$ es la suma de la altura del hexágono, la del triángulo equilátero y el radio de la circunferencia.

Entonces $OG = \dfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 + r.$

Sustituyendo $OG,$ obtenemos $2r = \dfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 + r.$ Simplificando obtenemos $r = \dfrac{3\sqrt3}{2}.$

El área de la circunferencia más grande es entonces $\pi \cdot \left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2 = \dfrac{27}{4}\pi.$

La razón buscada es entonces $\dfrac{\frac{27\pi}{4}}{\frac{\pi}{12}} = 81.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

Assume the regular hexagon has side length $1.$ The smaller circle is inscribed in an equilateral triangle of side length $1.$

The inradius of this equilateral triangle is $\dfrac{\sqrt3}{6}.$ The area of the circle is then $\pi \cdot \left(\dfrac{\sqrt3}{6}\right)^2 = \dfrac{\pi}{12}.$

Let $O$ be the center of the larger circle. Drop the perpendicular from $O$ to $\overline{GH}$ at $J.$ Draw $\overline{OG}.$

We have that $\triangle OJG$ is right. Since $\angle HGI = 60^{\circ},$ we also have that $\triangle OJG$ is a $30-60-90$ triangle.

Let $OJ = r.$ Then $OG = 2r.$ We also have that $OG$ is the sum of the height of the hexagon, equilateral triangle, and radius of the circle.

Then $OG = \dfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 + r.$

Substituting in $OG,$ we get $2r = \dfrac{\sqrt3}{2} + \sqrt3 + r.$ Simplifying gives us $r = \dfrac{3\sqrt3}{2}.$

The area of the larger circle is then $\pi \cdot \left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2 = \dfrac{27}{4}\pi.$

The desired ratio is then $\dfrac{\frac{27\pi}{4}}{\frac{\pi}{12}} = 81.$

Thus, D is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años