Question

Para cierto valor de $N$ , al expandir $(a+b+c+d+1)^N$ y combinar los términos semejantes, la expresión resultante contiene exactamente $1001$ términos que incluyen las cuatro variables $a$ , $b$ , $c$ y $d$ , cada una a alguna potencia positiva. ¿Cuánto vale $N$ ?

For some particular value of $N,$ when $(a+b+c+d+1)^N$ is expanded and like terms are combined, the resulting expression contains exactly $1001$ terms that include all four variables $a,$ $b,$ $c,$ and $d,$ each to some positive power. What is $N?$

$9$

$14$

$16$

$17$

$19$

Solución:

Un término que incluye las cuatro variables tiene la forma $a^vb^wc^xd^y$ , con $v,w,x,y\ge1$ , multiplicado por alguna potencia de $1$ . Si esa potencia es $z$ , entonces $v+w+x+y+z=N.$

Después de restar $1$ a cada uno de $v,w,x,y$ , esto se convierte en un conteo de estrellas y barras no negativo con $5$ variables cuya suma es $N-4$ . El número de tales términos es $\binom{N}{4}.$

Como $\binom{14}{4}=1001$ , obtenemos $N=14$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A term that includes all four variables has form $a^vb^wc^xd^y$ , with $v,w,x,y\ge1$ , multiplied by some power of $1$ . If that power is $z$ , then $v+w+x+y+z=N.$

After subtracting $1$ from each of $v,w,x,y$ , this becomes a nonnegative stars-and-bars count with $5$ variables summing to $N-4$ . The number of such terms is $\binom{N}{4}.$

Since $\binom{14}{4}=1001$ , we get $N=14$ .

Thus, the correct answer is B.

2016 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años