Question

Tres pares de zapatos diferentes se colocan en una fila de modo que ningún zapato izquierdo esté junto a un zapato derecho de un par diferente. ¿De cuántas maneras se pueden alinear estos seis zapatos?

Three different pairs of shoes are placed in a row so that no left shoe is next to a right shoe from a different pair. In how many ways can these six shoes be lined up?

$60$

$72$

$90$

$108$

$120$

Solución:

Recorre la fila: dondequiera que un zapato izquierdo toque a un zapato derecho, tienen que ser compañeros. Observa el patrón de lados (L o R) a lo largo de los seis lugares; cada cambio entre L y R debe estar en un par emparejado. Dos patrones mantienen todos los izquierdos juntos y luego todos los derechos, $LLLRRR$ y $RRRLLL.$ Cada uno tiene un solo cambio, así que elige el par emparejado ahí ( $3$ maneras) y ordena los otros dos izquierdos ( $2$ ) y dos derechos ( $2$ ): $12$ cada uno. Los otros patrones permitidos $LLRRRL,$ $LRRLLR,$ $LRRRLL,$ $RLLLRR,$ $RLLRRL,$ $RRLLLR$ dan $6$ arreglos cada uno. En total $2 \cdot 12 + 6 \cdot 6 = 60.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Scan the row: wherever a left shoe touches a right shoe, they have to be mates. Look at the pattern of sides (L or R) across the six spots; every switch between L and R must sit at a matched pair. Two patterns keep all lefts together then all rights, $LLLRRR$ and $RRRLLL.$ Each has a single switch, so pick the mated pair there ( $3$ ways) and order the other two lefts ( $2$ ) and two rights ( $2$ ): $12$ each. The other allowed patterns $LLRRRL,$ $LRRLLR,$ $LRRRLL,$ $RLLLRR,$ $RLLRRL,$ $RRLLLR$ give $6$ arrangements apiece. Altogether $2 \cdot 12 + 6 \cdot 6 = 60.$ Therefore, the answer is A.

2024 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años