Question

Los números $1,2,\dots,9$ se colocan al azar en los $9$ cuadros de una cuadrícula $3 \times 3$ . Cada cuadro recibe un número y cada número se usa una vez. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en cada fila y cada columna sea impar?

The numbers $1,2,\dots,9$ are randomly placed into the $9$ squares of a $3 \times 3$ grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{14}$

$\dfrac{5}{63}$

$\dfrac{2}{21}$

$\dfrac{1}{7}$

Solución:

Observa que la única forma de obtener una suma impar es que haya $0$ o $2$ números pares en la fila o columna.

La única forma de que esto ocurra es que los $4$ números pares formen un rectángulo con lados paralelos al cuadrado grande.

La manera de verlo es que elegimos un lugar para el primer número par. Luego necesitamos elegir otro cuadro en la misma fila, $x,$ y en la misma columna, $y,$ para que sean pares.

El último par debe estar en la misma columna que $x$ y en la misma fila que $y.$ Esto forma el rectángulo antes mencionado.

Hay cuatro rectángulos $2 \times 2$ , dos rectángulos $3 \times 2$ , dos rectángulos $2 \times 3$ y un rectángulo $3 \times 3$ .

Esto nos da un total de $4 + 2 + 2 + 1 = 9$ rectángulos, que son las disposiciones para los números pares.

Hay $4!$ maneras de ordenar los números pares y $5!$ maneras de ordenar los números impares.

Esto significa que hay un total de $9 \cdot 4! \cdot 5!$ configuraciones de cuadros que satisfacen la condición.

Hay un total de $9!$ disposiciones sin restricciones. Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac{9 \cdot 4! \cdot 5!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that the only way to get an odd sum is if there are either $0$ or $2$ even numbers in the row or column.

The only way for this to happen is if the $4$ even numbers form a rectangle with sides parallel to the large square.

The way to see this is we choose a spot for the first even number. Then we need to choose another square in the same row, $x,$ and column, $y,$ to be even.

The final even has to be in same column as $x$ and the same row as $y.$ This forms the aforementioned rectangle.

There are four $2 \times 2$ rectangles, two $3 \times 2$ rectangles, two $2 \times 3$ rectangles, and one $3 \times 3$ rectangle.

This gives us a total of $4 + 2 + 2 + 1 = 9$ rectangles, are arrangements for the even numbers.

There are $4!$ ways to arrange the even numbers and $5!$ ways to arrange the odd numbers.

This means that there are a total of $9 \cdot 4! \cdot 5!$ configurations of squares that satisfy the condition.

There are a total of $9!$ arrangements with no restrictions. The probability is therefore $\dfrac{9 \cdot 4! \cdot 5!}{9!} = \dfrac{1}{14}.$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años