Question

En cierto juego, cada uno de los $4$ jugadores lanza un dado estándar de $6$ caras. El ganador es el jugador que saca el número más alto. Si hay un empate en el lanzamiento más alto, los involucrados en el empate vuelven a lanzar y este proceso continúa hasta que un jugador gana. Hugo es uno de los jugadores en este juego. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer lanzamiento de Hugo haya sido un $5,$ dado que ganó el juego?

In a particular game, each of $4$ players rolls a standard $6$ -sided die. The winner is the player who rolls the highest number. If there is a tie for the highest roll, those involved in the tie will roll again and this process will continue until one player wins. Hugo is one of the players in this game. What is the probability that Hugo's first roll was a $5,$ given that he won the game?

$\dfrac{61}{216}$

$\dfrac{367}{1296}$

$\dfrac{41}{144}$

$\dfrac{185}{648}$

$\dfrac{11}{36}$

Solución:

Por simetría, $P(\text{Hugo wins})=\frac14$ . Así, la probabilidad buscada es $4\cdot P(\text{Hugo first rolls }5\text{ and wins})$ .

Si Hugo saca $5$ , entonces ningún otro jugador puede sacar $6$ . Consideramos casos según cuántos de los otros tres jugadores también sacan $5$ . Si $t$ otros jugadores empatan con Hugo, entonces Hugo gana el desempate final con probabilidad $\frac1{t+1}$ .

Así $\begin{gathered} P(\text{Hugo rolls }5\text{ and wins})\\ {}=\frac{64+24+4+\frac14}{6^4}\\ {}=\frac{369}{4\cdot1296}. \end{gathered}$

Al multiplicar por $4$ se obtiene $\frac{369}{1296}=\frac{41}{144}$ .

Por lo tanto, la respuesta es C.

By symmetry, $P(\text{Hugo wins})=\frac14$ . So the desired probability is $4\cdot P(\text{Hugo first rolls }5\text{ and wins})$ .

If Hugo rolls $5$ , then no other player can roll $6$ . Case on how many of the other three players also roll $5$ . If $t$ other players tie Hugo, then Hugo wins the eventual tiebreaker with probability $\frac1{t+1}$ .

Thus $\begin{gathered} P(\text{Hugo rolls }5\text{ and wins})\\ {}=\frac{64+24+4+\frac14}{6^4}\\ {}=\frac{369}{4\cdot1296}. \end{gathered}$

Multiplying by $4$ gives $\frac{369}{1296}=\frac{41}{144}$ .

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Fall Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años