Question

Sean $a,$ $b,$ y $c$ números reales tales que $a - 7b + 8c = 4$ y $8a + 4b - c = 7.$ ¿Cuánto vale $a^2 - b^2 + c^2$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be real numbers such that $a - 7b + 8c = 4$ and $8a + 4b - c = 7.$ What is $a^2 - b^2 + c^2?$

$0$

$1$

$4$

$7$

$8$

Solución:

Reescribe las ecuaciones como $a + 8c = 4 + 7b$ y $8a - c = 7 - 4b.$ Elevando al cuadrado ambas y sumando, $\begin{aligned} &(a + 8c)^2 + (8a - c)^2 \\ &= (4 + 7b)^2 \\ &\quad {}+ (7 - 4b)^2. \end{aligned}$

El lado izquierdo se desarrolla como $65a^2 + 65c^2$ (los términos $ac$ se cancelan), y el lado derecho se desarrolla como $65 + 65b^2$ (los términos $b$ se cancelan). Así que $65(a^2 + c^2) = 65(1 + b^2),$ lo que da $a^2 - b^2 + c^2 = 1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Rewrite the equations as $a + 8c = 4 + 7b$ and $8a - c = 7 - 4b.$ Squaring both and adding, $\begin{aligned} &(a + 8c)^2 + (8a - c)^2 \\ &= (4 + 7b)^2 \\ &\quad {}+ (7 - 4b)^2. \end{aligned}$

The left side expands to $65a^2 + 65c^2$ (the $ac$ terms cancel), and the right side expands to $65 + 65b^2$ (the $b$ terms cancel). So $65(a^2 + c^2) = 65(1 + b^2),$ giving $a^2 - b^2 + c^2 = 1.$

Thus, the correct answer is B.

2002 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años