Question

Como se muestra en la figura, el segmento $\overline{AD}$ está dividido en tres partes iguales por los puntos $B$ y $C$ de modo que $AB=BC=CD=2.$ Tres semicírculos de radio $1,$ $\widehat{AEB},$ $\widehat{BFC},$ y $\widehat{CGD},$ tienen sus diámetros sobre $\overline{AD}$ , están en el mismo semiplano determinado por la recta $AD$ , y son tangentes a la recta $EG$ en $E,F,$ y $G,$ respectivamente. Un círculo de radio $2$ tiene su centro en $F.$ El área de la región dentro del círculo pero fuera de los tres semicírculos, sombreada en la figura, puede expresarse en la forma $\frac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$ donde $a,b,c,$ y $d$ son enteros positivos y $a$ y $b$ son primos entre sí. ¿Cuánto vale $a+b+c+d$ ?

As shown in the figure, line segment $\overline{AD}$ is trisected by points $B$ and $C$ so that $AB=BC=CD=2.$ Three semicircles of radius $1,$ $\widehat{AEB},$ $\widehat{BFC},$ and $\widehat{CGD},$ have their diameters on $\overline{AD}$ , lie in the same halfplane determined by line $AD$ , and are tangent to line $EG$ at $E,F,$ and $G,$ respectively. A circle of radius $2$ has its center at $F.$ The area of the region inside the circle but outside the three semicircles, shaded in the figure, can be expressed in the form $\frac{a}{b}\cdot\pi-\sqrt{c}+d,$ where $a,b,c,$ and $d$ are positive integers and $a$ and $b$ are relatively prime. What is $a+b+c+d?$

$13$

$14$

$15$

$16$

$17$

Solución:

Primero, nota que $FD = 1,$ así que el arco ${XZ}$ debe tener longitud $2 \arccos{\dfrac 12} = \dfrac {2\pi} 3 .$ Como el área bajo los semicírculos es igual al área del arco menos el área de $FXZ,$ esa área es $\dfrac \theta {2} r^2 - \dfrac{FX\cdot FZ \sin XFZ}2$ $= \dfrac{2\cdot 2^2 \pi}{3\cdot 2} - \dfrac{2\cdot 2 \frac {\sqrt{3}} 2}2$ $= \frac 43 \pi - \sqrt 3 .$ Luego, el área gris por encima de $EG$ es un semicírculo $\frac 12 r^2 \pi= \frac 12 \cdot 4 \pi = 2\pi.$ Finalmente, el área gris consiste en cuatro de las siguientes figuras.

Los cuadrados tienen longitud de lado $1$ , así que tienen área $1.$ El cuarto de círculo tiene área $\frac \pi 4 r^2 = \frac \pi 4.$ Por lo tanto, la cantidad total de gris es $1- \frac \pi 4.$ Multiplicamos esto por $4$ ya que hay $4$ de estas figuras, lo que da un área de $4- \pi.$

El área total es $\frac 43 \pi - \sqrt 3 + 2 \pi + 4 -\pi$ $= \frac 73 \pi - \sqrt 3 + 4.$ Esto hace que nuestra respuesta sea $7+3+3+4 = 17.$

Así, la respuesta es E.

Firstly, notice $FD = 1,$ so the arc ${XZ}$ must have length $2 \arccos{\dfrac 12} = \dfrac {2\pi} 3 .$ Since the area under semicircles is equal to the area of the arc minus the area of $FXZ,$ that area is $\dfrac \theta {2} r^2 - \dfrac{FX\cdot FZ \sin XFZ}2$ $= \dfrac{2\cdot 2^2 \pi}{3\cdot 2} - \dfrac{2\cdot 2 \frac {\sqrt{3}} 2}2$ $= \frac 43 \pi - \sqrt 3 .$ Then, the gray area above $EG$ is a semicircle $\frac 12 r^2 \pi= \frac 12 \cdot 4 \pi = 2\pi.$ Finally, the gray area consists of four of the following shapes. \t\t

The squares have side length $1$ so it has area $1.$ The quarter circle has area $\frac \pi 4 r^2 = \frac \pi 4.$ Therefore, the total amount of gray is $1- \frac \pi 4.$ We multiply this by $4$ since there are $4$ of these shapes, yielding an area of $4- \pi.$

The total area is $\frac 43 \pi - \sqrt 3 + 2 \pi + 4 -\pi$ $= \frac 73 \pi - \sqrt 3 + 4.$ This makes our answer $7+3+3+4 = 17.$

Thus, the answer is E .

2019 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años