Question

Debra lanza repetidamente una moneda justa, llevando la cuenta de cuántas caras y cuántas cruces ha visto en total, hasta que obtiene o bien dos caras seguidas o bien dos cruces seguidas, momento en el que deja de lanzar. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga dos caras seguidas pero vea una segunda cruz antes de ver una segunda cara?

Debra flips a fair coin repeatedly, keeping track of how many heads and how many tails she has seen in total, until she gets either two heads in a row or two tails in a row, at which point she stops flipping. What is the probability that she gets two heads in a row but she sees a second tail before she sees a second head?

$\dfrac{1}{36}$

$\dfrac{1}{24}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{12}$

$\dfrac{1}{6}$

Solución:

Si primero sale cara, entonces la única manera de ver la segunda cruz antes de la siguiente cara es con $HTT,$ que termina sin dos caras.

Por lo tanto, debemos empezar con cruz. Luego necesitamos una cara para asegurar que no terminemos en dos cruces, y después otra cruz para asegurar que se vea una segunda cruz.

Esto significa que debemos empezar como $THT.$

Nuestra secuencia también debe alternar salvo por las dos últimas monedas, o de lo contrario habría dos lanzamientos consecutivos iguales que la detendrían. Esto significa que nuestra secuencia debe ser $THTH \cdots THH.$ Esto significa que hay exactamente una secuencia de tamaño $n$ para cada $n$ impar de al menos $5,$ cada una con probabilidad $\left(\frac 12\right) ^n.$ Así, la probabilidad total es $\frac 12^5 + \frac 12^7 + \cdots$ $= \frac 12^5\left( 1+ \frac 14 + \frac 14^2 \cdots \right)$ $= \dfrac 1{32} \cdot \dfrac{1}{1-\frac 14}$ $=\dfrac 1{32} \cdot \dfrac 43$ $= \dfrac 1{24}.$

Así, la respuesta es B.

If we flip heads first, then the only way to see the second tails before the next heads is with $HTT,$ which ends without two heads.

Therefore, we must start with tails. Then we need a heads to ensure that we don't end on two tails, and then another tails to ensure a second tails is seen.

This means we must start as $THT.$

Our sequence must also be alternating except the last two coins, or else there would be two consecutive flips that are the same causing it to stop. This means our sequence must be $THTH \cdots THH.$ This means that there is exactly one sequence of size $n$ for every odd $n$ at least $5,$ each with a probability of $\left(\frac 12\right) ^n.$ Thus, the total probability is $\frac 12^5 + \frac 12^7 + \cdots$ $= \frac 12^5\left( 1+ \frac 14 + \frac 14^2 \cdots \right)$ $= \dfrac 1{32} \cdot \dfrac{1}{1-\frac 14}$ $=\dfrac 1{32} \cdot \dfrac 43$ $= \dfrac 1{24}.$

Thus, the answer is B .

2019 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años