Question

Brian escribe cuatro enteros $w > x > y > z$ cuya suma es $44$ . Las diferencias positivas por pares de estos números son $1, 3, 4, 5, 6$ y $9$ . ¿Cuál es la suma de los posibles valores de $w$ ?

Brian writes down four integers $w > x > y > z$ whose sum is $44.$ The pairwise positive differences of these numbers are $1, 3, 4, 5, 6,$ and $9.$ What is the sum of the possible values for $w?$

$16$

$31$

$48$

$62$

$93$

Solución:

La mayor diferencia es $9$ , así que $w-z=9$ . Para cualquiera de los números intermedios $n$ , las dos diferencias $w-n$ y $n-z$ deben sumar $9$ .

Los pares de diferencias disponibles que suman $9$ son $3+6$ y $4+5$ , y la diferencia restante entre los dos números intermedios es $1$ .

Un conjunto posible es ${w,w-5,w-6,w-9}$ , que da $4w-20=44$ y $w=16$ . El otro es ${w,w-3,w-4,w-9}$ , que da $4w-16=44$ y $w=15$ .

La suma de los posibles valores de $w$ es $16+15=31$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The largest difference is $9$ , so $w-z=9$ . For either middle number $n$ , the two differences $w-n$ and $n-z$ must add to $9$ .

The available pairs of differences that add to $9$ are $3+6$ and $4+5$ , and the remaining difference between the two middle numbers is $1$ .

One possible set is ${w,w-5,w-6,w-9}$ , giving $4w-20=44$ and $w=16$ . The other is ${w,w-3,w-4,w-9}$ , giving $4w-16=44$ and $w=15$ .

The sum of the possible values of $w$ is $16+15=31$ .

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años