Question

Brian escribe cuatro enteros

w > x > y > z

cuya suma es

44.

Las diferencias positivas por pares de estos números son

1,

3,

4,

5,

6,

y

9.

¿Cuál es la suma de los posibles valores de

w

?

Brian writes down four integers

w > x > y > z

whose sum is

44.

The pairwise positive differences of these numbers are

1,

3,

4,

5,

6,

and

9.

What is the sum of the possible values for

w?

16

31

48

62

93

Respuesta: B

Conceptos:sistema de ecuaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

La mayor diferencia debe ser

w-z=9

.

The largest difference must be

w-z=9

Pista grande:

Las diferencias por pares restantes deben dividir

9

como

3+6

o

4+5

.

The remaining paired differences must split

9

as

3+6

or

4+5

Solución:

La mayor diferencia es

9

, así que

w-z=9

. Para cualquiera de los números intermedios

n

, las dos diferencias

w-n

y

n-z

deben sumar

9

.

Los pares de diferencias disponibles que suman

9

son

3+6

y

4+5

, y la diferencia restante entre los dos números intermedios es

1

.

Un conjunto posible es

\{w,w-5,w-6,w-9\}

, que da

4w-20=44

y

w=16

. El otro es

\{w,w-3,w-4,w-9\}

, que da

4w-16=44

y

w=15

.

La suma de los posibles valores de

w

es

16+15=31

.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The largest difference is

9

, so

w-z=9

. For either middle number

n

, the two differences

w-n

and

n-z

must add to

9

.

The available pairs of differences that add to

9

are

3+6

and

4+5

, and the remaining difference between the two middle numbers is

1

.

One possible set is

\{w,w-5,w-6,w-9\}

, giving

4w-20=44

and

w=16

. The other is

\{w,w-3,w-4,w-9\}

, giving

4w-16=44

and

w=15

.

The sum of the possible values of

w

is

16+15=31

.

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10B Problema 21

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años