Question

Sea $ABCDEF$ un hexágono equiángulo. Las rectas $AB, CD$ y $EF$ determinan un triángulo de área $192\sqrt{3}$ , y las rectas $BC, DE$ y $FA$ determinan un triángulo de área $324\sqrt{3}$ . El perímetro del hexágono $ABCDEF$ se puede expresar como $m +n\sqrt{p}$ , donde $m, n$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m + n + p$ ?

Let $ABCDEF$ be an equiangular hexagon. The lines $AB, CD,$ and $EF$ determine a triangle with area $192\sqrt{3},$ and the lines $BC, DE,$ and $FA$ determine a triangle with area $324\sqrt{3}.$ The perimeter of hexagon $ABCDEF$ can be expressed as $m +n\sqrt{p},$ where $m, n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the square of any prime. What is $m + n + p?$

$47$

$52$

$55$

$58$

$63$

Solución:

Sea $PQR$ el triángulo formado por las intersecciones de las rectas $AB,CD,EF$ , y sea $XYZ$ el triángulo formado por las intersecciones de las rectas $BC,DE,FA$ . Como el hexágono es equiángulo, todos estos triángulos exteriores son equiláteros.

Para un triángulo equilátero de lado $s$ , el área es $\frac{\sqrt3}{4}s^2$ . Por lo tanto,

$\begin{aligned} \frac{\sqrt3}{4}PQ^2 &=192\sqrt3, \\ \frac{\sqrt3}{4}YZ^2 &=324\sqrt3. \end{aligned}$

Así, $PQ=16\sqrt3$ y $YZ=36$ . El perímetro del hexágono es la suma de las longitudes de lado recortadas de estos dos triángulos equiláteros, que es

$PQ+YZ=16\sqrt3+36.$

Así, $m+n+p=36+16+3=55$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the intersections of lines $AB,CD,EF$ form triangle $PQR$ , and let the intersections of lines $BC,DE,FA$ form triangle $XYZ$ . Because the hexagon is equiangular, all these outer triangles are equilateral.

For an equilateral triangle with side length $s$ , the area is $\frac{\sqrt3}{4}s^2$ . Hence

$\begin{aligned} \frac{\sqrt3}{4}PQ^2 &=192\sqrt3, \\ \frac{\sqrt3}{4}YZ^2 &=324\sqrt3. \end{aligned}$

So $PQ=16\sqrt3$ and $YZ=36$ . The perimeter of the hexagon is the sum of the side lengths cut out of these two equilateral triangles, which is

$PQ+YZ=16\sqrt3+36.$

Thus $m+n+p=36+16+3=55$ .

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años