Question

Dos sucesiones no decrecientes de enteros no negativos tienen primeros términos distintos. Cada sucesión tiene la propiedad de que cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos términos anteriores, y el séptimo término de cada sucesión es $N.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $N$ ?

Two non-decreasing sequences of nonnegative integers have different first terms. Each sequence has the property that each term beginning with the third is the sum of the previous two terms, and the seventh term of each sequence is $N.$ What is the smallest possible value of $N$ ?

$55$

$89$

$104$

$144$

$273$

Solución:

Una sucesión que empieza con $u,v$ tiene séptimo término $5u+8v$ .

Para dos sucesiones $(a_1,a_2)$ y $(b_1,b_2)$ con primeros términos distintos, supón que $a_1\lt b_1$ . Entonces $5a_1+8a_2=5b_1+8b_2$ , así que $5(b_1-a_1)=8(a_2-b_2)$ .

Como $5$ y $8$ son coprimos, $b_1-a_1$ es al menos $8$ , y entonces el orden no decreciente da $b_2\ge b_1\ge a_1+8$ .

La construcción más pequeña es $a_1=0$ , $b_1=b_2=8$ y $a_2=13$ . Esto da $N=5\cdot0+8\cdot13=104$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A sequence starting with $u,v$ has seventh term $5u+8v$ .

For two sequences $(a_1,a_2)$ and $(b_1,b_2)$ with different first terms, assume $a_1\lt b_1$ . Then $5a_1+8a_2=5b_1+8b_2$ , so $5(b_1-a_1)=8(a_2-b_2)$ .

Since $5$ and $8$ are relatively prime, $b_1-a_1$ is at least $8$ , and then nondecreasing order gives $b_2\ge b_1\ge a_1+8$ .

The smallest construction is $a_1=0$ , $b_1=b_2=8$ , and $a_2=13$ . This gives $N=5\cdot0+8\cdot13=104$ .

Thus, the correct answer is C .

2013 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años