Question

Una hoja de papel cuadrada tiene lado $1$ y vértices $A,B,C,$ y $D$ en ese orden. Como se muestra en la figura, el papel se dobla de modo que el vértice $C$ toca el lado $\overline{AD}$ en el punto $C'$ , y el lado $\overline{BC}$ corta al lado $\overline{AB}$ en el punto $E$ . Supón que $C'D = \frac{1}{3}$ . ¿Cuál es el perímetro del triángulo $\bigtriangleup AEC'$ ?

A square piece of paper has side length $1$ and vertices $A,B,C,$ and $D$ in that order. As shown in the figure, the paper is folded so that vertex $C$ meets edge $\overline{AD}$ at point $C',$ and edge $\overline{BC}$ intersects edge $\overline{AB}$ at point $E.$ Suppose that $C'D = \frac{1}{3}.$ What is the perimeter of triangle $\bigtriangleup AEC' ?$

$2$

$1+\dfrac{2}{3}\sqrt{3}$

$\dfrac{13}{6}$

$1 + \dfrac{3}{4}\sqrt{3}$

$\dfrac{7}{3}$

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Usa coordenadas con $A=(0,1)$ , $B=(0,0)$ , $C=(1,0)$ y $D=(1,1)$ . Como $C'D=\frac13$ , tenemos $C'=(\frac23,1)$ , así que $AC'=\frac23$ .

El doblez refleja $C$ a $C'$ , así que la imagen del lado $BC$ es la recta que pasa por $C'$ y $E$ . Reflejar $B=(0,0)$ respecto a la mediatriz de $CC'$ da $(-\frac{2}{15},\frac25)$ . La recta que pasa por este punto y $C'$ corta a $AB$ en $E=(0,\frac12)$ .

Por lo tanto $AE=\frac12$ , y

$EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.$

El perímetro de $\triangle AEC'$ es

$\frac12+\frac23+\frac56=2.$

Por lo tanto, la respuesta es A.

Use coordinates with $A=(0,1)$ , $B=(0,0)$ , $C=(1,0)$ , and $D=(1,1)$ . Since $C'D=\frac13$ , we have $C'=(\frac23,1)$ , so $AC'=\frac23$ .

The fold reflects $C$ to $C'$ , so the image of side $BC$ is the line through $C'$ and $E$ . Reflecting $B=(0,0)$ across the perpendicular bisector of $CC'$ gives $(-\frac{2}{15},\frac25)$ . The line through this point and $C'$ meets $AB$ at $E=(0,\frac12)$ .

Thus $AE=\frac12$ , and

$EC'=\sqrt{\left(\frac23\right)^2+\left(\frac12\right)^2}=\frac56.$

The perimeter of $\triangle AEC'$ is

$\frac12+\frac23+\frac56=2.$

Thus, the answer is A .

2021 AMC 10B Spring Problema 21

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 21 en otros años