Question

¿Para cuántos enteros positivos $n$ el número $1 + 2 + \cdots + n$ divide exactamente a $6n$ ?

For how many positive integers $n$ does $1 + 2 + \cdots + n$ evenly divide $6n?$

$3$

$5$

$7$

$9$

$11$

Solución:

Como $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ el cociente es $\dfrac{6n}{n(n+1)/2} = \dfrac{12}{n+1},$ que es un entero exactamente cuando $n + 1$ divide a $12.$ Los divisores de $12$ que son al menos $2$ son $2, 3, 4, 6, 12,$ lo que da $n = 1, 2, 3, 5, 11$ , cinco valores.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2},$ the quotient is $\dfrac{6n}{n(n+1)/2} = \dfrac{12}{n+1},$ which is an integer exactly when $n + 1$ divides $12.$ The divisors of $12$ that are at least $2$ are $2, 3, 4, 6, 12,$ giving $n = 1, 2, 3, 5, 11$ — five values.

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años