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2017 AMC 10B Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2017 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2017 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

En el △ABC,\triangle ABC, AB=6,AB=6, AC=8,AC=8, BC=10,BC=10, y DD es el punto medio de BC‾.\overline{BC}. ¿Cuál es la suma de los radios de las circunferencias inscritas en el △ADB\triangle ADB y el △ADC\triangle ADC?
In △ABC,\triangle ABC, AB=6,AB=6, AC=8,AC=8, BC=10,BC=10, and DD is the midpoint of BC‾.\overline{BC}. What is the sum of the radii of the circles inscribed in △ADB\triangle ADB and △ADC?\triangle ADC?
5\sqrt{5}
114\dfrac{11}{4}
222\sqrt{2}
176\dfrac{17}{6}
33
Respuesta: D
Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradiotriángulo rectánguloárea del triángulo
Nivel de dificultad: 1720
Pista pequeña:
Primero reconoce que el triángulo 6,8,106,8,10 es rectángulo.
First recognize the 6,8,106,8,10 triangle as right
Pista grande:
Usa que el área es igual al inradio por el semiperímetro para los dos triángulos más pequeños.
Use area equals inradius times semiperimeter for the two smaller triangles
Solución:
El triángulo ABCABC es rectángulo, con ángulo recto en A.A. Como DD es el punto medio de la hipotenusa, es el circuncentro del triángulo.
Por tanto, AD=BD=DC=5.AD = BD = DC = 5. Además, el área de ABCABC es 6⋅82=24.\dfrac{6\cdot 8}2 = 24.
Las bases BDBD y DCDC son iguales, y los dos triángulos comparten la misma altura desde A.A. Por tanto, △ABD\triangle ABD y △ACD\triangle ACD tienen área 12.12.
Para cada triángulo, tenemos A=rsA = rs, donde AA es el área, rr es el inradio y ss es el semiperímetro. Equivalentemente, 12=12rP,12=\dfrac12rP, donde PP es el perímetro, así que r=24P.r=\dfrac{24}{P}. Para △ABD,\triangle ABD, el inradio es 245+5+6=32.\dfrac{24}{5+5+6}=\dfrac32. Para △ACD,\triangle ACD, es 245+5+8=43.\dfrac{24}{5+5+8}=\dfrac43.
Su suma es 32+43=176.\dfrac 32 + \dfrac 43 = \dfrac{17}6 .
Así, la respuesta correcta es D.
The triangle ABCABC is a right triangle with a right angle at A.A. This makes DD the circumcenter of the triangle since it is the midpoint of the hypotenuse.
Therefore, AD=BD=DC=5.AD = BD = DC = 5. Also, the area of ABCABC is 6⋅82=24.\dfrac{6\cdot 8}2 = 24.
The bases BDBD and DCDC are equal, and the two triangles share the same altitude from A.A. Therefore, △ABD\triangle ABD and △ACD\triangle ACD each have area 12.12.
Then, for each triangle, we have A=rsA = rs where AA is the area, rr is the inradius, and ss is the semiperimeter. Equivalently, 12=12rP,12=\dfrac12rP, where PP is the perimeter, so r=24P.r=\dfrac{24}{P}. For △ABD,\triangle ABD, the inradius is 245+5+6=32.\dfrac{24}{5+5+6}=\dfrac32. For △ACD,\triangle ACD, it is 245+5+8=43.\dfrac{24}{5+5+8}=\dfrac43.
Their sum is 32+43=176.\dfrac 32 + \dfrac 43 = \dfrac{17}6 .
Thus, the correct answer is D .
Problema 20#20
Examen completo
Problema 22#22

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