Question

En el $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $AC=8,$ $BC=10,$ y $D$ es el punto medio de $\overline{BC}.$ ¿Cuál es la suma de los radios de las circunferencias inscritas en el $\triangle ADB$ y el $\triangle ADC$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $AC=8,$ $BC=10,$ and $D$ is the midpoint of $\overline{BC}.$ What is the sum of the radii of the circles inscribed in $\triangle ADB$ and $\triangle ADC?$

$\sqrt{5}$

$\dfrac{11}{4}$

$2\sqrt{2}$

$\dfrac{17}{6}$

$3$

Solución:

El triángulo $ABC$ es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en $A.$ Esto hace que $D$ sea el circuncentro del triángulo, ya que es el punto medio de la hipotenusa.

Por lo tanto, $AD = BD = DC = 5.$ Además, el área de $ABC$ es $\dfrac{6\cdot 8}2 = 24.$

Como $BD$ y $DC$ tienen la misma altura y base, los triángulos $ABD$ y $ACD$ tienen la misma área de $12.$

Luego, para cada triángulo, tenemos $A = rs$ donde $A$ es el área, $r$ es el inradio y $s$ es el semiperímetro. Esto significa $12 = \frac12 {rP}$ para cada triángulo, donde $P$ es el perímetro. Así, sabemos que $r=\dfrac{24}P.$ Aplicamos este hecho a $ABD,$ para ver que $r=\dfrac{24}{5+5+6} = \dfrac 32.$ De manera similar, para $ACD,$ es $r=\dfrac{24}{5+5+8} = \dfrac 43.$

Su suma es $\dfrac 32 + \dfrac 43 = \dfrac{17}6 .$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The triangle $ABC$ is a right triangle with a right angle at $A.$ This makes $D$ the circumcenter of the triangle since it is the midpoint of the hypotenuse.

Therefore, $AD = BD = DC = 5.$ Also, the area of $ABC$ is $\dfrac{6\cdot 8}2 = 24.$

Since $BD$ and $DC$ have the same altitude and base, the triangles $ABD$ and $ACD$ have the same area of $12.$

Then, for each triangle, we have $A = rs$ where $A$ is the area, $r$ is the inradius, and $s$ is the semiperimeter. This means $12 = \frac12 {rP}$ for each triangle, where $P$ is the perimeter. Thus, we know that $r=\dfrac{24}P.$ We apply this fact for $ABD,$ to see that $r=\dfrac{24}{5+5+6} = \dfrac 32.$ Similarly, for $ACD,$ it $r=\dfrac{24}{5+5+8} = \dfrac 43.$

Their sum is $\dfrac 32 + \dfrac 43 = \dfrac{17}6 .$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años