Question

Cada uno de los $9$ cuadrados de una cuadrícula $3 \times 3$ se colorea de rojo, azul o amarillo de tal manera que cada cuadrado rojo comparte un lado con al menos un cuadrado azul, cada cuadrado azul comparte un lado con al menos un cuadrado amarillo, y cada cuadrado amarillo comparte un lado con al menos un cuadrado rojo. Las coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante rotaciones y/o reflexiones se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

Each of the $9$ squares in a $3 \times 3$ grid is to be colored red, blue, or yellow in such a way that each red square shares an edge with at least one blue square, each blue square shares an edge with at least one yellow square, and each yellow square shares an edge with at least one red square. Colorings that can be obtained from one another by rotations and/or reflections are to be considered the same. How many different colorings are possible?

$3$

$9$

$12$

$18$

$27$

Solución:

Las reglas se encadenan en un ciclo: cada rojo toca un azul, cada azul toca un amarillo, cada amarillo toca un rojo. Enumerar la cuadrícula etiquetada $3 \times 3$ da $84$ coloraciones válidas. Ahora se aplica el lema de Burnside: la identidad fija las $84$ , las rotaciones no idénticas no fijan ninguna, dos reflexiones fijan $6$ cada una, y las otras dos no fijan ninguna. Por lo tanto el número de órbitas es $\frac{84+6+6}{8}=12$ . Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The rules chain in a cycle: every red touches a blue, every blue touches a yellow, every yellow touches a red. Enumerating the labeled $3 \times 3$ grid gives $84$ valid colorings. Burnside's lemma now applies: the identity fixes all $84$ , nonidentity rotations fix none, two reflections fix $6$ each, and the other two fix none. Hence the number of orbits is $\frac{84+6+6}{8}=12$ . Thus, C is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años