Question

El tetraedro $ABCD$ tiene $AB=5$ , $AC=3$ , $BC=4$ , $BD=4$ , $AD=3$ , y $CD=\tfrac{12}5\sqrt2$ . ¿Cuál es el volumen del tetraedro?

Tetrahedron $ABCD$ has $AB=5,$ $AC=3,$ $BC=4,$ $BD=4,$ $AD=3,$ and $CD=\tfrac{12}5\sqrt2.$ What is the volume of the tetrahedron?

$3\sqrt2$

$2\sqrt5$

$\dfrac{24}5$

$3\sqrt{3}$

$\dfrac{24}5\sqrt2$

Solución:

Afirmamos que los planos de los triángulos $ABC$ y $ABD$ son perpendiculares entre sí.

Podemos demostrarlo trazando las alturas desde $C$ hacia $AB$ y desde $D$ hacia $AB$ en cada triángulo.

Como $AC = AD$ y $BC = BD,$ los pies de estas alturas coinciden en el punto $P.$

Entonces $CP = DP = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ Además, $CD = CP\sqrt{2},$ lo que muestra que $CPD$ es un triángulo rectángulo isósceles.

El volumen del tetraedro es $\dfrac{1}{3}[ABD] \cdot CP = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{24}{5}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We claim that triangles $ABC$ and $ABD$ are perpendicular to each other.

We can show this be dropping the altitudes from $C$ to $AB$ and from $D$ to $AB$ in each triangle.

Since $AC = AD$ and $BC = BD,$ we have that the feet of these altitudes will coincide at point $P.$

Then we have that $CP = DP = \dfrac{3 \cdot 4}{5} = \dfrac{12}{5}.$ We then have that $CD = CP\sqrt{2},$ which shows that $CPD$ is an isosceles right triangle.

This proves the above claim. Finally, the volume of the tetrahedron is $\dfrac{1}{3}[ABD] \cdot CP = \dfrac{6}{3} \cdot \dfrac{12}{5} = \dfrac{24}{5}.$

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años