Question

¿Cuál de las siguientes opciones describe el conjunto de valores de $a$ para los cuales las curvas $x^2+y^2=a^2$ y $y=x^2-a$ en el plano real $xy$ se intersecan en exactamente $3$ puntos?

Which of the following describes the set of values of $a$ for which the curves $x^2+y^2=a^2$ and $y=x^2-a$ in the real $xy$ -plane intersect at exactly $3$ points?

$a = \dfrac14$

$\dfrac14 \lt a \lt \dfrac12$

$a \gt \dfrac14$

$a = \dfrac12$

$a \gt \dfrac12$

Solución:

Sustituye $y=x^2-a$ en $x^2+y^2=a^2$ , lo que da $x^2+(x^2-a)^2=a^2$ , así que $x^2(x^2-(2a-1))=0$ .

El factor $x^2=0$ siempre da el único punto $(0,-a)$ . El otro factor da dos puntos reales adicionales exactamente cuando $2a-1>0$ .

Hay exactamente tres puntos de intersección cuando $a>\dfrac12$ . Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Substitute $y=x^2-a$ into $x^2+y^2=a^2$ . This gives $x^2+(x^2-a)^2=a^2$ , so $x^2(x^2-(2a-1))=0$ .

The factor $x^2=0$ always gives the single point $(0,-a)$ . The other factor gives two additional real points exactly when $2a-1>0$ .

There are exactly three intersection points when $a>\dfrac12$ . Thus, E is the correct answer.

2018 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años