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2018 AMC 10A Problema 21

Intenta el Problema 21 del 2018 AMC 10A a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 10A, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

21.

¿Cuál de las siguientes opciones describe el conjunto de valores de aa para los cuales las curvas x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 y y=x2−ay=x^2-a en el plano real xyxy se intersecan en exactamente 33 puntos?
Which of the following describes the set of values of aa for which the curves x2+y2=a2x^2+y^2=a^2 and y=x2−ay=x^2-a in the real xyxy-plane intersect at exactly 33 points?
a=14a = \dfrac14
14<a<12\dfrac14 \lt a \lt \dfrac12
a>14a \gt \dfrac14
a=12a = \dfrac12
a>12a \gt \dfrac12
Respuesta: E
Conceptos:parábolacírculosustitución
Nivel de dificultad: 1820
Pista pequeña:
Sustituye la ecuación de la parábola en la ecuación del círculo.
Substitute the parabola equation into the circle equation
Pista grande:
Las raíces no nulas aparecen solo cuando 2a−12a-1 es positivo.
The nonzero roots appear only when 2a−12a-1 is positive
Solución:
Sustituye y=x2−ay=x^2-a en x2+y2=a2x^2+y^2=a^2, lo que da x2+(x2−a)2=a2x^2+(x^2-a)^2=a^2, así que x2(x2−(2a−1))=0x^2(x^2-(2a-1))=0.
El factor x2=0x^2=0 siempre da el único punto (0,−a)(0,-a). El otro factor da dos puntos reales adicionales exactamente cuando 2a−1>02a-1>0.
Hay exactamente tres puntos de intersección cuando a>12a>\dfrac12. Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Substitute y=x2−ay=x^2-a into x2+y2=a2x^2+y^2=a^2. This gives x2+(x2−a)2=a2x^2+(x^2-a)^2=a^2, so x2(x2−(2a−1))=0x^2(x^2-(2a-1))=0.
The factor x2=0x^2=0 always gives the single point (0,−a)(0,-a). The other factor gives two additional real points exactly when 2a−1>02a-1>0.
There are exactly three intersection points when a>12a>\dfrac12. Thus, E is the correct answer.
Problema 20#20
Examen completo
Problema 22#22

El Problema 21 en otros años

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