Question

Se elige al azar un palíndromo entre $1000$ y $10,000$ . ¿Cuál es la probabilidad de que sea divisible entre $7$ ?

A palindrome between $1000$ and $10,000$ is chosen at random. What is the probability that it is divisible by $7?$

$\dfrac{1}{10}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

Solución:

Observa que podemos expresar cualquier número de $4$ dígitos como $abcd.$ Esto se puede escribir en forma extendida como $10^3a + 10^2b + 10c + d.$ Como en un palíndromo tenemos que $a = d$ y $b = c.$ Podemos simplificar esto para obtener $1001a + 110b.$ Observa que $1001$ es divisible entre $7.$ Esto significa que $110b$ también debe ser divisible entre $7.$

La única forma de que esto ocurra es que $b$ sea $0$ o $7$ , ya que $110$ no es divisible entre $7.$

Hay $9$ opciones para $a$ y $2$ opciones para $b,$ para un total de $9 \cdot 2 = 18$ palíndromos.

El número total de palíndromos es $9 \cdot 10$ , ya que hay $9$ opciones para el dígito de los millares y $10$ opciones para el dígito de las centenas.

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{18}{9 \cdot 10} = \dfrac{1}{5}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that we can express any $4$ digit number as $abcd.$ This can be expressed in long form as $10^3a + 10^2b + 10c + d.$ Since in a palindrome, we have that $a = d$ and $b = c.$ We can simplify this to get $1001a + 110b.$ Note that $1001$ is divisible by $7.$ This means that $110b$ must also be divisible by $7.$

The only way for this to happen is if $b$ is $0$ or $7$ since $110$ is not divisible by $7.$

There are $9$ options for $a$ and $2$ options for $b,$ for a total of $9 \cdot 2 = 18$ palindromes.

The total number of palindromes is $9 \cdot 10$ since there are $9$ options for the thousands digit and $10$ options for the hundreds digit.

The desired probability is then $\dfrac{18}{9 \cdot 10} = \dfrac{1}{5}.$

Thus, E is the correct answer.

2010 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años