Question

Dos monedas falsas de igual peso se mezclan con $8$ monedas genuinas idénticas. El peso de cada una de las monedas falsas es diferente del peso de cada una de las monedas genuinas. Se selecciona al azar un par de monedas sin reemplazo de las $10$ monedas. Se selecciona un segundo par al azar sin reemplazo de las $8$ monedas restantes. El peso combinado del primer par es igual al peso combinado del segundo par. ¿Cuál es la probabilidad de que las $4$ monedas seleccionadas sean todas genuinas?

Two counterfeit coins of equal weight are mixed with $8$ identical genuine coins. The weight of each of the counterfeit coins is different from the weight of each of the genuine coins. A pair of coins is selected at random without replacement from the $10$ coins. A second pair is selected at random without replacement from the remaining $8$ coins. The combined weight of the first pair is equal to the combined weight of the second pair. What is the probability that all $4$ selected coins are genuine?

$\dfrac{7}{11}$

$\dfrac{9}{13}$

$\dfrac{11}{15}$

$\dfrac{15}{19}$

$\dfrac{15}{16}$

Solución:

Hay dos casos: o ambos pares seleccionados contienen solo monedas genuinas, o cada par seleccionado tiene una moneda falsa.

Para el primer caso, hay $\binom{8}{2} = 28$ formas de elegir las monedas del primer par y $\binom{6}{2} = 15$ opciones para el segundo par.

También debemos dividir entre $2$ ya que podemos intercambiar los pares. Esto nos da $28 \cdot 15 \div 2 = 210$ configuraciones para este caso.

Para el segundo caso, hay $\binom{8}{2} = 28$ formas de elegir las monedas no falsas. Solo hay una opción para las monedas falsas.

Hay dos maneras de formar los dos pares, dos opciones de cuál moneda falsa va con una moneda genuina.

Esto significa que hay $28 \cdot 2 = 56$ configuraciones para este caso.

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{210}{210 + 56} = \dfrac{210}{266} = \dfrac{15}{19}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are two cases: either both selected pairs contain only genuine coins or each selected pair has one counterfeit coin.

For the first case, there are $\binom{8}{2} = 28$ ways to choose the coins for the first pair and $\binom{6}{2} = 15$ choices for the second pair.

We also have to divide by $2$ since we can swap the pairs. This gives us $28 \cdot 15 \div 2 = 210$ configurations for this case.

For the second case, there are $\binom{8}{2} = 28$ ways to choose the non-counterfeit coins. There is only one choice for the counterfeit coins.

There are two ways to create the two pairs, two choices for which counterfeit coin goes with a genuine coin.

This means that there are $28 \cdot 2 = 56$ configurations for this case.

The desired probability is then $\dfrac{210}{210 + 56} = \dfrac{210}{266} = \dfrac{15}{19}.$

Thus, D is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años