Question

Para un par peculiar particular de dados, las probabilidades de sacar $1,2,3,4,5,$ y $6$ en cada dado están en la razón $1:2:3:4:5:6.$ ¿Cuál es la probabilidad de sacar un total de $7$ con los dos dados?

For a particular peculiar pair of dice, the probabilities of rolling $1,2,3,4,5,$ and $6$ on each die are in the ratio $1:2:3:4:5:6.$ What is the probability of rolling a total of $7$ on the two dice?

$\dfrac{4}{63}$

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{8}{63}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{2}{7}$

Solución:

Cada dado muestra $k$ con probabilidad $\tfrac{k}{1+2+\cdots+6}=\tfrac{k}{21}.$

Para un total de $7,$ los pares ordenados $(1,6),(2,5),\ldots,(6,1)$ contribuyen $\begin{aligned} &\scriptsize\dfrac{1\cdot6+2\cdot5+3\cdot4+4\cdot3+5\cdot2+6\cdot1}{21^2}\\ &=\dfrac{56}{441}=\dfrac{8}{63}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Each die shows $k$ with probability $\tfrac{k}{1+2+\cdots+6}=\tfrac{k}{21}.$

For a total of $7,$ the ordered pairs $(1,6),(2,5),\ldots,(6,1)$ contribute $\begin{aligned} &\scriptsize\dfrac{1\cdot6+2\cdot5+3\cdot4+4\cdot3+5\cdot2+6\cdot1}{21^2}\\ &=\dfrac{56}{441}=\dfrac{8}{63}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2006 AMC 10B Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años