Question

$12$ piratas acuerdan dividir un cofre del tesoro de monedas de oro entre ellos de la siguiente manera. El $k^{\text{th}}$ pirata en tomar una parte toma $\dfrac{k}{12}$ de las monedas que quedan en el cofre. El número de monedas que hay inicialmente en el cofre es el menor número para el cual este arreglo permite que cada pirata reciba un número entero positivo de monedas. ¿Cuántas monedas recibe el $12^{\text{th}}$ pirata?

A group of $12$ pirates agree to divide a treasure chest of gold coins among themselves as follows. The $k^{\text{th}}$ pirate to take a share takes $\dfrac{k}{12}$ of the coins that remain in the chest. The number of coins initially in the chest is the smallest number for which this arrangement will allow each pirate to receive a positive whole number of coins. How many coins does the $12^{\text{th}}$ pirate receive?

$720$

$1296$

$1728$

$1925$

$3850$

Solución:

Trabaja hacia atrás. Si quedan $n$ monedas para el pirata $12$ , entonces antes de que el pirata $k$ tomara una parte, el cofre tenía $\frac{12}{12-k}$ veces las monedas que tenía después.

Por lo tanto, el número inicial de monedas es $n\cdot\frac{12^{11}}{11!}$ .

Como $\frac{12^{11}}{11!}=\frac{2^{14}3^7}{5\cdot7\cdot11}$ , el menor $n$ que hace que el número inicial sea entero es $5^2\cdot7\cdot11=1925$ .

Por lo tanto, el pirata $12$ recibe $1925$ monedas, y D es la respuesta correcta.

Work backward. If $n$ coins remain for the $12$ th pirate, then before pirate $k$ took a share, the chest had $\frac{12}{12-k}$ times as many coins as it had afterward.

Therefore the initial number of coins is $n\cdot\frac{12^{11}}{11!}$ .

Since $\frac{12^{11}}{11!}=\frac{2^{14}3^7}{5\cdot7\cdot11}$ , the smallest $n$ that makes the initial number an integer is $5^2\cdot7\cdot11=1925$ .

Thus, the $12$ th pirate receives $1925$ coins, and D is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 21

Solución:

El Problema 21 en otros años