Question

Un cuadrado unitario se gira

45^\circ

alrededor de su centro. ¿Cuál es el área de la región barrida por el interior del cuadrado?

A unit square is rotated

45^\circ

about its center. What is the area of the region swept out by the interior of the square?

1 - \dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\pi}{4}

\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{4}

2 - \sqrt2 + \dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\pi}{4}

1 + \dfrac{\sqrt2}{4} + \dfrac{\pi}{8}

Trabaja con un cuadrante de la región barrida.

Work with one quadrant of the swept region

Descompón ese cuadrante en un sector y dos piezas triangulares rectángulas.

Decompose that quadrant into a sector and two right-triangle pieces

Considera una cuarta parte de la región barrida y multiplica su área por

4

.

El sector tiene ángulo

45^\circ

y radio

\frac{\sqrt2}{2}

, así que su área es

\frac18\pi\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{\pi}{16}

.

Las dos piezas triangulares rectángulas de ese cuarto tienen áreas

\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18

y

\frac12\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2

.

Multiplicar la suma de áreas del cuarto por

4

da

2-\sqrt2+\frac{\pi}{4}

.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Consider one quarter of the swept region and multiply its area by

4

.

The sector has angle

45^\circ

and radius

\frac{\sqrt2}{2}

, so its area is

\frac18\pi\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{\pi}{16}

.

The two right-triangle pieces in that quarter have areas

\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18

and

\frac12\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2

.

Multiplying the quarter-area sum by

4

gives

2-\sqrt2+\frac{\pi}{4}

.

Thus, C is the correct answer.