Question

Un cuadrado unitario se gira $45^\circ$ alrededor de su centro. ¿Cuál es el área de la región barrida por el interior del cuadrado?

A unit square is rotated $45^\circ$ about its center. What is the area of the region swept out by the interior of the square?

$1 - \dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{4}$

$2 - \sqrt2 + \dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\pi}{4}$

$1 + \dfrac{\sqrt2}{4} + \dfrac{\pi}{8}$

Solución:

Considera una cuarta parte de la región barrida y multiplica su área por $4$ .

El sector tiene ángulo $45^\circ$ y radio $\frac{\sqrt2}{2}$ , así que su área es $\frac18\pi\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{\pi}{16}$ .

Las dos piezas triangulares rectángulas de ese cuarto tienen áreas $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$ y $\frac12\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2$ .

Multiplicar la suma de áreas del cuarto por $4$ da $2-\sqrt2+\frac{\pi}{4}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Consider one quarter of the swept region and multiply its area by $4$ .

The sector has angle $45^\circ$ and radius $\frac{\sqrt2}{2}$ , so its area is $\frac18\pi\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{\pi}{16}$ .

The two right-triangle pieces in that quarter have areas $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$ and $\frac12\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2$ .

Multiplying the quarter-area sum by $4$ gives $2-\sqrt2+\frac{\pi}{4}$ .

Thus, C is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años