Question

Un cuadrado $3 \times 3$ se divide en $9$ cuadrados unitarios. Cada cuadrado unitario se pinta de blanco o de negro, siendo cada color igualmente probable, elegido de forma independiente y al azar.

Luego el cuadrado se rota $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj alrededor de su centro, y todo cuadrado blanco en una posición antes ocupada por un cuadrado negro se pinta de negro. Los colores de todos los demás cuadrados quedan sin cambios. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuadrícula sea ahora completamente negra?

A $3 \times 3$ square is partitioned into $9$ unit squares. Each unit square is painted either white or black with each color being equally likely, chosen independently and at random.

The square is then rotated $90^{\circ}$ clockwise about its center, and every white square in a position formerly occupied by a black square is painted black. The colors of all other squares are left unchanged. What is the probability the grid is now entirely black?

$\dfrac{49}{512}$

$\dfrac{7}{64}$

$\dfrac{121}{1024}$

$\dfrac{81}{512}$

$\dfrac{9}{32}$

Solución:

El cuadrado central debe ser negro inicialmente, aportando probabilidad $\dfrac12$ . Los cuatro cuadrados de las esquinas forman un ciclo bajo la rotación, y los cuatro cuadrados centrales de los lados forman otro ciclo idéntico.

Para un $4$ -ciclo, las cuatro posiciones finales son todas negras a menos que un cuadrado blanco sea rotado a una posición que también era blanca. Las coloraciones iniciales exitosas son $BBBB$ , las cuatro rotaciones de $BBBW$ y las dos rotaciones de $BWBW$ , para $7$ coloraciones de $16$ .

El mismo conteo aplica al ciclo de los centros de los lados, de forma independiente. Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac12\left(\dfrac7{16}\right)^2=\dfrac{49}{512}$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The center square must initially be black, contributing probability $\dfrac12$ . The four corner squares form one cycle under the rotation, and the four edge-middle squares form another identical cycle.

For one $4$ -cycle, the final four positions are all black unless a white square is rotated into a position that was also white. The successful initial colorings are $BBBB$ , the four rotations of $BBBW$ , and the two rotations of $BWBW$ , for $7$ colorings out of $16$ .

The same count applies to the edge-middle cycle, independently. Therefore the probability is $\dfrac12\left(\dfrac7{16}\right)^2=\dfrac{49}{512}$ .

Thus, A is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años