Question

Una mosca atrapada dentro de una caja cúbica con longitud de lado $1$ metro decide aliviar su aburrimiento visitando cada esquina de la caja. Comenzará y terminará en la misma esquina y visitará cada una de las otras esquinas exactamente una vez. Para ir de una esquina a cualquier otra esquina, volará o caminará en línea recta. ¿Cuál es la longitud máxima posible, en metros, de su trayecto?

A fly trapped inside a cubical box with side length $1$ meter decides to relieve its boredom by visiting each corner of the box. It will begin and end in the same corner and visit each of the other corners exactly once. To get from a corner to any other corner, it will either fly or crawl in a straight line. What is the maximum possible length, in meters, of its path?

$4+4\sqrt{2}$

$2+4\sqrt{2}+2\sqrt{3}$

$2+3\sqrt{2}+3\sqrt{3}$

$4\sqrt{2}+4\sqrt{3}$

$3\sqrt{2}+5\sqrt{3}$

Solución:

Nota que todos los trayectos que la mosca puede tomar tienen longitudes de $1, \sqrt2,$ o $\sqrt3.$

Solo hay $4$ diagonales espaciales en el cubo, así que a lo sumo $4$ movimientos pueden tener longitud $\sqrt3.$ Los otros $4$ movimientos tienen longitud a lo sumo $\sqrt2.$

Esta cota superior se puede alcanzar, por ejemplo alternando diagonales espaciales y diagonales de cara alrededor de los vértices.

El trayecto tiene longitud $4\sqrt2 + 4\sqrt3.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Note that all the paths the fly can take have lengths of $1, \sqrt2,$ or $\sqrt3.$

There are only $4$ space diagonals in the cube, so at most $4$ moves can have length $\sqrt3.$ The other $4$ moves have length at most $\sqrt2.$

This upper bound is attainable, for example by alternating space diagonals and face diagonals around the vertices.

The path has length $4\sqrt2 + 4\sqrt3.$

Thus, D is the correct answer.

2010 AMC 10A Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años