Question

Una función $f$ se define recursivamente por $f(1) = f(2) = 1$ y

$f(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n$

para todos los enteros $n \ge 3.$ ¿Cuánto vale $f(2018)$ ?

A function $f$ is defined recursively by $f(1) = f(2) = 1$ and

$f(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n$

for all integers $n \ge 3.$ What is $f(2018)?$

$2016$

$2017$

$2018$

$2019$

$2020$

Solución:

Nota que $f(n) = n + 1$ resuelve la recurrencia por sí sola, así que escribe $f(n) = (n + 1) + g(n).$ Entonces $g$ satisface la versión homogénea $g(n) = g(n-1) - g(n-2).$ Con $g(1) = -1$ y $g(2) = -2,$ esta se repite con periodo $6$ : $-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots.$ Como $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ obtenemos $g(2018) = -2,$ así que $f(2018) = 2019 - 2 = 2017.$ Por lo tanto, la respuesta es B.

Notice $f(n) = n + 1$ solves the recurrence on its own, so write $f(n) = (n + 1) + g(n).$ Then $g$ satisfies the homogeneous version $g(n) = g(n-1) - g(n-2).$ With $g(1) = -1$ and $g(2) = -2,$ it cycles with period $6$ : $-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots.$ Since $2018 \equiv 2 \pmod 6,$ we get $g(2018) = -2,$ so $f(2018) = 2019 - 2 = 2017.$ Therefore, the answer is B.

2018 AMC 10B Problema 20

Solución:

El Problema 20 en otros años