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2018 AMC 10B Problema 20

Intenta el Problema 20 del 2018 AMC 10B a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2018 AMC 10B, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

20.

Una función ff se define recursivamente por f(1)=f(2)=1f(1) = f(2) = 1 y
f(n)=f(n−1)−f(n−2)+nf(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n
para todos los enteros n≥3.n \ge 3. ¿Cuánto vale f(2018)f(2018)?
A function ff is defined recursively by f(1)=f(2)=1f(1) = f(2) = 1 and
f(n)=f(n−1)−f(n−2)+nf(n) = f(n - 1) - f(n - 2) + n
for all integers n≥3.n \ge 3. What is f(2018)?f(2018)?
20162016
20172017
20182018
20192019
20202020
Respuesta: B
Conceptos:recursiónreconocimiento de patrones
Nivel de dificultad: 1910
Pista pequeña:
Busca una solución particular de la forma f(n)=n+c;f(n) = n + c; restarla deja g(n)=g(n−1)−g(n−2)g(n) = g(n-1) - g(n-2).
Look for a particular solution of the form f(n)=n+c;f(n) = n + c; subtracting it leaves g(n)=g(n−1)−g(n−2)g(n) = g(n-1) - g(n-2)
Pista grande:
Esa recursión homogénea es periódica con periodo 6;6; reduce 20182018 módulo 66.
That homogeneous recursion is periodic with period 6;6; reduce 20182018 modulo 66
Solución:
Nota que f(n)=n+1f(n) = n + 1 resuelve la recurrencia por sí sola, así que escribe f(n)=(n+1)+g(n).f(n) = (n + 1) + g(n). Entonces gg satisface la versión homogénea g(n)=g(n−1)−g(n−2).g(n) = g(n-1) - g(n-2). Con g(1)=−1g(1) = -1 y g(2)=−2,g(2) = -2, esta se repite con periodo 66: −1,−2,−1,1,2,1,….-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots. Como 2018≡2(mod6),2018 \equiv 2 \pmod 6, obtenemos g(2018)=−2,g(2018) = -2, así que f(2018)=2019−2=2017.f(2018) = 2019 - 2 = 2017. Por lo tanto, la respuesta es B.
Notice f(n)=n+1f(n) = n + 1 solves the recurrence on its own, so write f(n)=(n+1)+g(n).f(n) = (n + 1) + g(n). Then gg satisfies the homogeneous version g(n)=g(n−1)−g(n−2).g(n) = g(n-1) - g(n-2). With g(1)=−1g(1) = -1 and g(2)=−2,g(2) = -2, it cycles with period 66: −1,−2,−1,1,2,1,….-1, -2, -1, 1, 2, 1, \ldots. Since 2018≡2(mod6),2018 \equiv 2 \pmod 6, we get g(2018)=−2,g(2018) = -2, so f(2018)=2019−2=2017.f(2018) = 2019 - 2 = 2017. Therefore, the answer is B.
Problema 19#19
Examen completo
Problema 21#21

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