Question

El diámetro $\overline{AB}$ de una circunferencia de radio $2$ se prolonga hasta un punto $D$ fuera de la circunferencia de modo que $BD=3.$ Se elige el punto $E$ de modo que $ED=5$ y la recta $ED$ es perpendicular a la recta $AD.$ El segmento $\overline{AE}$ corta a la circunferencia en un punto $C$ entre $A$ y $E.$ ¿Cuál es el área del $\triangle ABC$ ?

The diameter $\overline{AB}$ of a circle of radius $2$ is extended to a point $D$ outside the circle so that $BD=3.$ Point $E$ is chosen so that $ED=5$ and line $ED$ is perpendicular to line $AD.$ Segment $\overline{AE}$ intersects the circle at a point $C$ between $A$ and $E.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{120}{37}$

$\dfrac{140}{39}$

$\dfrac{145}{39}$

$\dfrac{140}{37}$

$\dfrac{120}{31}$

Respuesta: D

Conceptos:ángulo inscrito semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Usa el ángulo del semicírculo para obtener un triángulo rectángulo.

Use the semicircle angle to get a right triangle

Pista grande:

Compara $\triangle ABC$ y $\triangle AED$ por semejanza.

Compare $\triangle ABC$ and $\triangle AED$ by similarity

Solución:

Como el radio es $2$ y $BD =3,$ tenemos $AD = 7.$ Como $ED = 5$ y el ángulo en $D$ es recto, el área de $ADE$ es $\dfrac{5\cdot 7}{2} = \dfrac{35}{2} .$

Por el teorema de Pitágoras, $AE=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}.$ Además, $\angle ACB$ es un ángulo recto, ya que $AB$ es un diámetro. Los triángulos comparten el ángulo en $A,$ así que $\triangle ABC\sim\triangle AED$ por semejanza ángulo-ángulo.

Sus hipotenusas correspondientes son $AB=4$ y $AE=\sqrt{74},$ así que su razón de áreas es $\dfrac{[ABC]}{[AED]}=\left(\dfrac4{\sqrt{74}}\right)^2=\dfrac8{37}.$ Por lo tanto, $[ABC]=\dfrac8{37}\cdot\dfrac{35}{2}=\dfrac{140}{37}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since the radius is $2$ and $BD =3,$ we have $AD = 7.$ Since $ED = 5$ and the angle at $D$ is a right angle, the area of $ADE$ is $\dfrac{5\cdot 7}{2} = \dfrac{35}{2} .$

By the Pythagorean Theorem, $AE=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}.$ Also, $\angle ACB$ is a right angle because $AB$ is a diameter. The triangles share the angle at $A,$ so $\triangle ABC\sim\triangle AED$ by angle-angle similarity.

Their corresponding hypotenuses are $AB=4$ and $AE=\sqrt{74},$ so their area ratio is $\dfrac{[ABC]}{[AED]}=\left(\dfrac4{\sqrt{74}}\right)^2=\dfrac8{37}.$ Therefore, $[ABC]=\dfrac8{37}\cdot\dfrac{35}{2}=\dfrac{140}{37}.$

Thus, the correct answer is D .

2017 AMC 10B Problema 22

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años