Question

Los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ del triángulo equilátero $ABC$ son tangentes a una circunferencia en los puntos $B$ y $C$ respectivamente. ¿Qué fracción del área de $\triangle ABC$ queda fuera de la circunferencia?

Sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ of equilateral triangle $ABC$ are tangent to a circle at points $B$ and $C$ respectively. What fraction of the area of $\triangle ABC$ lies outside the circle?

$\dfrac{4\sqrt{3}\pi}{27}-\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{9}$

$\dfrac{4}{3}-\dfrac{4\sqrt{3}\pi}{27}$

Solución:

Sea el radio de la circunferencia $r.$

Para hallar el área del triángulo fuera de la circunferencia, podemos hallar el área del triángulo dentro de la circunferencia y restarla.

Obtenemos que $\angle BOC = 120^{\circ}$ ya que $\angle ABO$ y $\angle ACO$ son ángulos rectos.

Esto significa que el área del sector $OBC$ es $\dfrac{120}{360} \cdot \pi r^2 = \dfrac{\pi r^2}{3}.$

Ahora, necesitamos hallar el área de $\triangle BOC.$ Usando la fórmula del área de un triángulo con el seno, obtenemos que el área es $\dfrac{1}{2} \sin (120^{\circ}) \cdot r^2 = \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4}.$

Entonces el área del triángulo dentro de la circunferencia es $\dfrac{\pi r^2}{3} - \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{r^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{12}.$

El área de $\triangle ABC$ es $\dfrac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3r^2\sqrt{3}}{4}.$

La fracción buscada es entonces $\begin{align*} \scriptsize 1 - \dfrac{\frac{r^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{12}}{\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}} &= 1 - \dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{9\sqrt{3}} \\&= 1 - \dfrac{4\pi\sqrt{3}}{27} + \dfrac{1}{3} \\&= \dfrac{4}{3} - \dfrac{4\pi\sqrt{3}}{27}. \end{align*}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the radius of the circle be $r.$

To find the area of the triangle outside of the circle, we can find the area of the triangle inside the circle and subtract it.

We get that $\angle BOC = 120^{\circ}$ since $\angle ABO$ and $\angle ACO$ are right angles.

This means that the area of sector $OBC$ is $\dfrac{120}{360} \cdot \pi r^2 = \dfrac{\pi r^2}{3}.$

Now, we need to find the area of $\triangle BOC.$ Using the formula for the area of a triangle with sine, we get the area to be $\dfrac{1}{2} \sin (120^{\circ}) \cdot r^2 = \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4}.$

Then the area of the triangle inside the circle is $\dfrac{\pi r^2}{3} - \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{r^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{12}.$

The area of $\triangle ABC$ is $\dfrac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3r^2\sqrt{3}}{4}.$

The desired fraction is then $\begin{align*} \scriptsize 1 - \dfrac{\frac{r^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{12}}{\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}} &= 1 - \dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{9\sqrt{3}} \\&= 1 - \dfrac{4\pi\sqrt{3}}{27} + \dfrac{1}{3} \\&= \dfrac{4}{3} - \dfrac{4\pi\sqrt{3}}{27}. \end{align*}$

Thus, E is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años