Question

Un triángulo con lados de $5, 12,$ y $13$ tiene tanto un círculo inscrito como uno circunscrito. ¿Cuál es la distancia entre los centros de esos círculos?

A triangle with sides of $5, 12,$ and $13$ has both an inscribed and a circumscribed circle. What is the distance between the centers of those circles?

$\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{15}$

$\dfrac{\sqrt{65}}{2}$

$\dfrac{9}{2}$

Solución:

Como $5^2 + 12^2 = 13^2,$ el triángulo es rectángulo. Colócalo en $(0, 0),$ $(5, 0),$ $(0, 12).$ El circuncentro es el punto medio de la hipotenusa, $\left(\tfrac52, 6\right).$

El inradio satisface $(12 - r) + (5 - r) = 13,$ así que $r = 2$ y el incentro es $(2, 2).$

La distancia es $\begin{gathered} \sqrt{\left(\tfrac52 - 2\right)^2 + (6 - 2)^2} \\ = \sqrt{\tfrac14 + 16} \\ = \dfrac{\sqrt{65}}{2}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $5^2 + 12^2 = 13^2,$ the triangle is right. Place it at $(0, 0),$ $(5, 0),$ $(0, 12).$ The circumcenter is the midpoint of the hypotenuse, $\left(\tfrac52, 6\right).$

The inradius satisfies $(12 - r) + (5 - r) = 13,$ so $r = 2$ and the incenter is $(2, 2).$

The distance is $\begin{gathered} \sqrt{\left(\tfrac52 - 2\right)^2 + (6 - 2)^2} \\ = \sqrt{\tfrac14 + 16} \\ = \dfrac{\sqrt{65}}{2}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is D.

2004 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años