Question

Sea $S$ el conjunto de circunferencias en el plano coordenado que son tangentes a cada una de las tres circunferencias con ecuaciones $\begin{align*}x^{2}+y^{2}&=4,\\ x^{2}+y^{2}&=64, \\ (x-5)^{2}+y^{2}&=3.\end{align*}$ ¿Cuál es la suma de las áreas de todas las circunferencias en $S$ ?

Let $S$ be the set of circles in the coordinate plane that are tangent to each of the three circles with equations $\begin{align*}x^{2}+y^{2}&=4,\\ x^{2}+y^{2}&=64, \\ (x-5)^{2}+y^{2}&=3.\end{align*}$ What is the sum of the areas of all circles in $S?$

$\ 48 \pi$

$\ 68 \pi$

$\ 96 \pi$

$\ 102 \pi$

$\ 136 \pi$

Solución:

Sea $x^2 + y^2 = 64$ la circunferencia $O,$ $x^2 + y^2 = 4$ la circunferencia $P,$ y $(x - 5)^2 + y^2 = 3$ la circunferencia $Q.$

Primero nota que toda circunferencia, $R,$ en $S$ es tangente internamente a $O.$ Luego distinguimos casos según la tangencia de $R$ con $P$ y $Q.$

Caso $1:$ Esto corresponde a la circunferencia rosa. Aquí $P$ y $Q$ son tangentes internamente a $R.$

Caso $2:$ Esto corresponde a la circunferencia azulada. Aquí $P$ y $Q$ son tangentes externamente a $R.$

Caso $3:$ Esto corresponde a la circunferencia verde. Aquí $P$ es tangente externamente y $Q$ internamente a $R.$

Caso $4:$ Esto corresponde a la circunferencia roja. Aquí $P$ es tangente internamente y $Q$ externamente a $R.$

Podemos considerar juntos los casos $1$ y $4$ . Nota que $O$ y $P$ tienen el mismo centro. Esto significa que la recta que une el centro de $R$ y $O$ pasa por los puntos de tangencia tanto de $R$ y $O$ como de $R$ y $P.$

Esta recta es el diámetro de $R,$ y tiene longitud $r_P + r_O = 2 + 8 = 10.$ Por lo tanto, el radio de $R$ es $5.$

Considera juntos los casos $2$ y $3$ . De manera similar a lo anterior, la recta que une el centro de $R$ y $O$ pasará por los puntos de tangencia.

Esta vez, sin embargo, el diámetro de $R$ es $r_O - r_P = 8 - 2 = 6.$ Esto hace que el radio de $R$ sea $3.$

$S$ contiene $8$ circunferencias: $4$ de las cuales tienen radio $5$ y $4$ de las cuales tienen radio $3$ (esto se debe a que podemos reflejar todas las circunferencias del diagrama sobre el eje x para obtener $4$ circunferencias más).

El área total de las circunferencias en $S$ es, por lo tanto, $4 (5^2 \pi + 3^2 \pi) = 136 \pi.$ Así, E es la respuesta correcta.

Let $x^2 + y^2 = 64$ be circle $O,$ $x^2 + y^2 = 4$ be circle $P,$ and $(x - 5)^2 + y^2 = 3$ be circle $Q.$

First note that every circle, $R,$ in $S$ is internally tangent to $O.$ Then we case on the tangency of $R$ with $P$ and $Q.$

Case $1:$ This corresponds to the pink circle. This is where $P$ and $Q$ are internally tangent to $R.$

Case $2:$ This corresponds to the bluish circle. This is where $P$ and $Q$ are externally tangent to $R.$

Case $3:$ This corresponds to the green circle. This is where $P$ is externally and $Q$ is internally tangent to $R.$

Case $4:$ This corresponds to the red circle. This is where $P$ is internally and $Q$ is externally tangent to $R.$

We can consider cases $1$ and $4$ together. Note that $O$ and $P$ have the same center. This means that the line connecting the center of $R$ and $O$ passes through the tangency points of both $R$ and $O$ and $R$ and $P.$

This line is the diameter of $R,$ and it has length $r_P + r_O = 2 + 8 = 10.$ Therefore, the radius of $R$ is $5.$

Consider cases $2$ and $3$ together. Similarly to above, the line connecting the center of $R$ and $O$ will pass through the tangency points.

This time, however, the diameter of $R$ is $r_O - r_P = 8 - 2 = 6.$ This makes the radius of $R$ $3.$

$S$ contains $8$ circles: $4$ of which have radius $5$ and $4$ of which have radius $3$ (this is because we can flip all the circles in the diagram over the x-axis to get $4$ more circles).

The total area of the circles in $S$ is therefore $4 (5^2 \pi + 3^2 \pi) = 136 \pi.$ Thus, E is the correct answer.

2022 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años