Question

Para cierto entero positivo $n$ , el número $110n^3$ tiene $110$ divisores enteros positivos, incluyendo $1$ y el propio número $110n^3$ . ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene el número $81n^4$ ?

For some positive integer $n,$ the number $110n^3$ has $110$ positive integer divisors, including $1$ and the number $110n^3.$ How many positive integer divisors does the number $81n^4$ have?

$110$

$191$

$261$

$325$

$425$

Solución:

La factorización en primos es $110=2\cdot5\cdot11$ . Si $110n^3$ tiene $110=2\cdot5\cdot11$ divisores, entonces tiene exactamente tres factores primos, con exponentes $1,4,10$ en algún orden.

Para cada uno de los primos $2,5,11$ , su exponente en $110n^3$ es $1$ más que un múltiplo de $3$ . Los exponentes $1,4,10$ tienen todos esta forma, así que los exponentes correspondientes en $n$ son $0,1,3$ en algún orden.

En $81n^4=3^4n^4$ , los exponentes provenientes de $n^4$ son, por lo tanto, $0,4,12$ , en algún orden, junto con el exponente $4$ del primo $3$ . Por lo tanto, el conteo de divisores es $\begin{aligned} &(0+1)\cdot(4+1)\cdot(12+1) \\ &\quad {}\cdot(4+1)=325. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The prime factorization is $110=2\cdot5\cdot11$ . If $110n^3$ has $110=2\cdot5\cdot11$ divisors, then it has exactly three prime factors, with exponents $1,4,10$ in some order.

For each of the primes $2,5,11$ , its exponent in $110n^3$ is $1$ more than a multiple of $3$ . The exponents $1,4,10$ all have this form, so the corresponding exponents in $n$ are $0,1,3$ in some order.

In $81n^4=3^4n^4$ , the exponents from $n^4$ are therefore $0,4,12$ , in some order, along with the exponent $4$ on prime $3$ . Hence the divisor count is $\begin{aligned} &(0+1)\cdot(4+1)\cdot(12+1) \\ &\quad {}\cdot(4+1)=325. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is D.

2016 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años