Question

Una pirámide tiene una base cuadrada con lados de longitud $1$ y caras laterales que son triángulos equiláteros. Se coloca un cubo dentro de la pirámide de modo que una cara está sobre la base de la pirámide y su cara opuesta tiene todas sus aristas sobre las caras laterales de la pirámide. ¿Cuál es el volumen de este cubo?

A pyramid has a square base with sides of length $1$ and has lateral faces that are equilateral triangles. A cube is placed within the pyramid so that one face is on the base of the pyramid and its opposite face has all its edges on the lateral faces of the pyramid. What is the volume of this cube?

$5\sqrt{2} - 7$

$7 - 4\sqrt{3}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{27}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{9}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{9}$

Solución:

Sea $x$ la longitud del lado del cubo. Toma una sección transversal vertical diagonal de la pirámide que pasa por vértices opuestos de la base cuadrada.

Esta sección es un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa $\sqrt2$ . El cubo aparece como un rectángulo de altura $x$ y ancho $\sqrt2x$ , dejando dos triángulos rectángulos isósceles congruentes de cateto $x$ .

Así, $\sqrt2=\sqrt2x+2x$ , de modo que $x=\sqrt2-1$ . El volumen del cubo es $x^3=(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the cube have side length $x$ . Take a vertical diagonal cross-section of the pyramid through opposite vertices of the square base.

This cross-section is an isosceles right triangle with hypotenuse $\sqrt2$ . The cube appears as a rectangle of height $x$ and width $\sqrt2x$ , leaving two congruent right isosceles triangles of leg $x$ .

Thus $\sqrt2=\sqrt2x+2x$ , so $x=\sqrt2-1$ . The cube volume is $x^3=(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7$ .

Thus, A is the correct answer.

2011 AMC 10B Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años