Question

Sea $S$ el conjunto de los $2005$ menores múltiplos positivos de $4,$ y sea $T$ el conjunto de los $2005$ menores múltiplos positivos de $6.$ ¿Cuántos elementos son comunes a $S$ y $T$ ?

Let $S$ be the set of the $2005$ smallest positive multiples of $4,$ and let $T$ be the set of the $2005$ smallest positive multiples of $6.$ How many elements are common to $S$ and $T?$

$166$

$333$

$500$

$668$

$1001$

Solución:

Los elementos comunes a $S$ y $T$ son los múltiplos de $\operatorname{lcm}(4,6) = 12.$ Ahora bien, $S$ contiene múltiplos de $4$ hasta $4 \cdot 2005 = 8020,$ mientras que $T$ llega hasta $6 \cdot 2005 = 12{,}030,$ así que los elementos comunes son los múltiplos de $12$ que no superan $8020.$ Hay $\left\lfloor \dfrac{8020}{12} \right\rfloor = 668$ de ellos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The elements common to $S$ and $T$ are the multiples of $\operatorname{lcm}(4,6) = 12.$ Now $S$ contains multiples of $4$ up to $4 \cdot 2005 = 8020,$ while $T$ reaches up to $6 \cdot 2005 = 12{,}030,$ so the common elements are the multiples of $12$ not exceeding $8020.$ There are $\left\lfloor \dfrac{8020}{12} \right\rfloor = 668$ of them.

Thus, the correct answer is D.

2005 AMC 10A Problema 22

Solución:

El Problema 22 en otros años