Question

Sea

AB

un diámetro de un círculo y sea

C

un punto sobre

AB

con

2 \cdot AC = BC.

Sean

D

y

E

puntos sobre el círculo tales que

DC \perp AB

y

DE

es un segundo diámetro. ¿Cuál es la razón entre el área de

\triangle DCE

y el área de

\triangle ABD

?

Let

AB

be a diameter of a circle and

C

be a point on

AB

with

2 \cdot AC = BC.

Let

D

and

E

be points on the circle such that

DC \perp AB

and

DE

is a second diameter. What is the ratio of the area of

\triangle DCE

to the area of

\triangle ABD?

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

Respuesta: C

Conceptos:razón de áreas círculo área del triángulo

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Sea

O

el centro; a partir de

2 \cdot AC = BC

ubica

C

usando

AC = \frac{1}{3}AB

.

Let

O

be the center; from

2 \cdot AC = BC

locate

C

using

AC = \frac{1}{3}AB

Pista grande:

Como

O

es el punto medio de

DE,

[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO],

y

\triangle DCO

comparte con

\triangle DAB

la altura desde

D

.

Since

O

is the midpoint of

DE,

[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO],

and

\triangle DCO

shares the altitude from

D

with

\triangle DAB

Solución:

Sea

O

el centro. De

2 \cdot AC = BC

y

AC + BC = AB,

obtenemos

AC = \dfrac{AB}{3},

así que

CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}.

Los triángulos

DCO

y

DAB

comparten el vértice

D

con bases

CO

y

AB

sobre la misma recta, así que

[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]

= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB].

Como

O

es el punto medio de

DE,

[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]

= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB].

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let

O

be the center. From

2 \cdot AC = BC

and

AC + BC = AB,

we get

AC = \dfrac{AB}{3},

so

CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}.

Triangles

DCO

and

DAB

share the apex

D

with bases

CO

and

AB

on the same line, so

[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]

= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB].

Because

O

is the midpoint of

DE,

[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]

= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB].

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 10A Problema 23

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años