Question

Sea $AB$ un diámetro de un círculo y sea $C$ un punto sobre $AB$ con $2 \cdot AC = BC.$ Sean $D$ y $E$ puntos sobre el círculo tales que $DC \perp AB$ y $DE$ es un segundo diámetro. ¿Cuál es la razón entre el área de $\triangle DCE$ y el área de $\triangle ABD$ ?

Let $AB$ be a diameter of a circle and $C$ be a point on $AB$ with $2 \cdot AC = BC.$ Let $D$ and $E$ be points on the circle such that $DC \perp AB$ and $DE$ is a second diameter. What is the ratio of the area of $\triangle DCE$ to the area of $\triangle ABD?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

Solución:

Sea $O$ el centro. De $2 \cdot AC = BC$ y $AC + BC = AB,$ obtenemos $AC = \dfrac{AB}{3},$ así que $CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}.$ Los triángulos $DCO$ y $DAB$ comparten el vértice $D$ con bases $CO$ y $AB$ sobre la misma recta, así que $[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]$ $= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB].$ Como $O$ es el punto medio de $DE,$ $[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]$ $= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB].$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $O$ be the center. From $2 \cdot AC = BC$ and $AC + BC = AB,$ we get $AC = \dfrac{AB}{3},$ so $CO = \dfrac{AB}{2} - \dfrac{AB}{3} = \dfrac{AB}{6}.$ Triangles $DCO$ and $DAB$ share the apex $D$ with bases $CO$ and $AB$ on the same line, so $[\triangle DCO] = \dfrac{CO}{AB}[\triangle DAB]$ $= \dfrac{1}{6}[\triangle DAB].$ Because $O$ is the midpoint of $DE,$ $[\triangle DCE] = 2\,[\triangle DCO]$ $= \dfrac{1}{3}[\triangle DAB].$

Thus, the correct answer is C.

2005 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años