Question

Rachel y Robert corren en una pista circular. Rachel corre en sentido antihorario y completa una vuelta cada $90$ segundos, y Robert corre en sentido horario y completa una vuelta cada $80$ segundos. Ambos parten de la línea de salida al mismo tiempo. En algún instante aleatorio entre $10$ minutos y $11$ minutos después de empezar a correr, un fotógrafo situado dentro de la pista toma una foto que muestra un cuarto de la pista, centrada en la línea de salida. ¿Cuál es la probabilidad de que tanto Rachel como Robert aparezcan en la foto?

Rachel and Robert run on a circular track. Rachel runs counterclockwise and completes a lap every $90$ seconds, and Robert runs clockwise and completes a lap every $80$ seconds. Both start from the start line at the same time. At some random time between $10$ minutes and $11$ minutes after they begin to run, a photographer standing inside the track takes a picture that shows one-fourth of the track, centered on the starting line. What is the probability that both Rachel and Robert are in the picture?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac18$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac14$

$\dfrac{5}{16}$

Solución:

La foto abarca $\dfrac18$ de vuelta a cada lado de la salida. Después de $600$ segundos Rachel está a $30$ segundos de la línea; recorriendo $\dfrac14$ de vuelta en $22.5$ segundos, aparece a la vista entre los $30-11.25=18.75$ y los $30+11.25=41.25$ segundos del $10$ º minuto.

Después de $600$ segundos Robert está a $40$ segundos de la línea; recorriendo $\dfrac14$ de vuelta en $20$ segundos, aparece a la vista entre los $30$ y los $50$ segundos.

Ambos aparecen entre los $30$ y los $41.25$ segundos, una ventana de longitud $11.25$ de $60,$ así que la probabilidad es $\dfrac{11.25}{60}=\dfrac{3}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The picture spans $\dfrac18$ lap on each side of the start. After $600$ seconds Rachel is $30$ seconds short of the line; running $\dfrac14$ lap in $22.5$ seconds, she is in view between $30-11.25=18.75$ and $30+11.25=41.25$ seconds of the $10$ th minute.

After $600$ seconds Robert is $40$ seconds from the line; running $\dfrac14$ lap in $20$ seconds, he is in view between $30$ and $50$ seconds.

Both appear between $30$ and $41.25$ seconds, a window of length $11.25$ out of $60,$ so the probability is $\dfrac{11.25}{60}=\dfrac{3}{16}.$

Thus, the correct answer is C.

2009 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años