Question

¿Cuántos pares ordenados $(a, b)$ de enteros positivos satisfacen la ecuación

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

donde $\gcd(a, b)$ denota el máximo común divisor de $a$ y $b,$ y $\operatorname{lcm}(a, b)$ denota su mínimo común múltiplo?

How many ordered pairs $(a, b)$ of positive integers satisfy the equation

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

where $\gcd(a, b)$ denotes the greatest common divisor of $a$ and $b,$ and $\operatorname{lcm}(a, b)$ denotes their least common multiple?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Solución:

Recuerda que $ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b).$ Sea $x = \operatorname{lcm}(a,b)$ y $y = \gcd(a,b).$ La ecuación se transforma en $xy + 63 = 20x + 12y,$ que se factoriza como $(x - 12)(y - 20) = 177 = 3 \cdot 59.$ Las factorizaciones positivas dan $(x, y) = (13, 197),$ $(189, 21),$ $(15, 79),$ $(71, 23).$ Pero también necesitamos $y \mid x,$ y solo $(189, 21)$ cumple. Así, $\gcd = 21,$ $\operatorname{lcm} = 189,$ y $\{a, b\} = \{21, 189\}.$ Esos son los $2$ pares ordenados $(21, 189)$ y $(189, 21).$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Recall $ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b).$ Let $x = \operatorname{lcm}(a,b)$ and $y = \gcd(a,b).$ The equation turns into $xy + 63 = 20x + 12y,$ which factors as $(x - 12)(y - 20) = 177 = 3 \cdot 59.$ The positive factorizations give $(x, y) = (13, 197),$ $(189, 21),$ $(15, 79),$ $(71, 23).$ But we also need $y \mid x,$ and only $(189, 21)$ passes. So $\gcd = 21,$ $\operatorname{lcm} = 189,$ and $\{a, b\} = \{21, 189\}.$ That's the $2$ ordered pairs $(21, 189)$ and $(189, 21).$ Thus, B is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años