Question

¿Cuántos pares ordenados $(a, b)$ de enteros positivos satisfacen la ecuación

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

donde $\gcd(a, b)$ denota el máximo común divisor de $a$ y $b,$ y $\operatorname{lcm}(a, b)$ denota su mínimo común múltiplo?

How many ordered pairs $(a, b)$ of positive integers satisfy the equation

$\begin{aligned} a \cdot b + 63 &= 20 \cdot \operatorname{lcm}(a, b) \\ &\quad {}+ 12 \cdot \gcd(a, b), \end{aligned}$

where $\gcd(a, b)$ denotes the greatest common divisor of $a$ and $b,$ and $\operatorname{lcm}(a, b)$ denotes their least common multiple?

$0$

$2$

$4$

$6$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor Truco de factorización favorito de Simon

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Usa $ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b);$ sea $x = \operatorname{lcm}(a,b)$ y $y = \gcd(a,b)$ .

Use $ab = \gcd(a,b) \cdot \operatorname{lcm}(a,b);$ let $x = \operatorname{lcm}(a,b)$ and $y = \gcd(a,b)$

Pista grande:

La ecuación se convierte en $(x - 12)(y - 20) = 177 = 3 \cdot 59;$ además $y$ debe dividir a $x$ .

The equation becomes $(x - 12)(y - 20) = 177 = 3 \cdot 59;$ also $y$ must divide $x$

Solución:

Recuerda que $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b).$ Sea $x=\operatorname{lcm}(a,b)$ y $y=\gcd(a,b).$ La ecuación se transforma en $(x-12)(y-20)=177=3\cdot59.$

Las factorizaciones positivas dan $(x,y)=(13,197),$ $(189,21),$ $(15,79),$ y $(71,23).$ Las factorizaciones negativas harían negativo a $x$ o a $y,$ así que son imposibles. Además, $y$ debe dividir a $x,$ y solo $(x,y)=(189,21)$ cumple esa condición.

Escribe $a=21u$ y $b=21v.$ Entonces $\gcd(u,v)=1$ y $uv=\frac{189}{21}=9,$ así que $(u,v)=(1,9)$ o $(9,1).$ Por lo tanto, los dos pares ordenados son $(21,189)$ y $(189,21),$ y B es la respuesta correcta.

Recall $ab=\gcd(a,b)\operatorname{lcm}(a,b).$ Let $x=\operatorname{lcm}(a,b)$ and $y=\gcd(a,b).$ The equation becomes $(x-12)(y-20)=177=3\cdot59.$

The positive factor pairs give $(x,y)=(13,197),$ $(189,21),$ $(15,79),$ and $(71,23).$ The negative factor pairs make either $x$ or $y$ negative, so they are impossible. Also $y$ must divide $x,$ and only $(x,y)=(189,21)$ passes.

Write $a=21u$ and $b=21v.$ Then $\gcd(u,v)=1$ and $uv=\frac{189}{21}=9,$ so $(u,v)=(1,9)$ or $(9,1).$ Hence the two ordered pairs are $(21,189)$ and $(189,21),$ and B is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2120

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años