Question

Una esfera está inscrita en un cono circular recto truncado, como se muestra. El volumen del cono truncado es el doble del de la esfera. ¿Cuál es la razón entre el radio de la base inferior del cono truncado y el radio de la base superior del cono truncado?

A sphere is inscribed in a truncated right circular cone as shown. The volume of the truncated cone is twice that of the sphere. What is the ratio of the radius of the bottom base of the truncated cone to the radius of the top base of the truncated cone?

$\dfrac32$

$\dfrac{1+\sqrt5}2$

$\sqrt3$

$2$

$\dfrac{3+\sqrt5}2$

Solución:

Sea el radio superior $1$ , el radio inferior $R$ , y el radio de la esfera inscrita $a$ .

En la sección transversal, la esfera es tangente a las dos bases, así que la altura del tronco es $2a$ . El triángulo rectángulo formado por el lado, un radio al punto de tangencia y los radios de las bases da $R=a^2$ , como en el diagrama oficial.

El volumen del tronco es $\frac13\pi(R^2+R+1)(2a)$ $=\frac{2a\pi}{3}(a^4+a^2+1)$ .

Este es el doble del volumen de la esfera, $\frac{8a^3\pi}{3}$ . Al cancelar se obtiene $a^4-3a^2+1=0$ , así que $R^2-3R+1=0$ .

Así, $R=\frac{3+\sqrt5}{2}$ , y la respuesta correcta es E.

Let the top radius be $1$ , the bottom radius be $R$ , and the inscribed sphere radius be $a$ .

In the cross-section, the sphere is tangent to the two bases, so the frustum height is $2a$ . The right triangle formed by the side, a radius to the tangency point, and the base radii gives $R=a^2$ , as in the official diagram.

The frustum volume is $\frac13\pi(R^2+R+1)(2a)$ $=\frac{2a\pi}{3}(a^4+a^2+1)$ .

This is twice the sphere volume, $\frac{8a^3\pi}{3}$ . Cancelling gives $a^4-3a^2+1=0$ , so $R^2-3R+1=0$ .

Thus $R=\frac{3+\sqrt5}{2}$ , and the correct answer is E .

2014 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años