Question

Las circunferencias con centros

A

y

B

tienen radios

3

y

8,

respectivamente. Una tangente interior común toca las circunferencias en

C

y

D,

como se muestra. Las rectas

AB

y

CD

se cortan en

E,

y

AE = 5.

¿Cuánto vale

CD

?

Circles with centers

A

and

B

have radii

3

and

8,

respectively. A common internal tangent touches the circles at

C

and

D,

as shown. Lines

AB

and

CD

intersect at

E,

and

AE = 5.

What is

CD?

13

\dfrac{44}{3}

\sqrt{221}

\sqrt{255}

\dfrac{55}{3}

Respuesta: B

Conceptos:recta tangente semejanza Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Los radios

AC

y

BD

son perpendiculares a la tangente

CD

.

Radii

AC

and

BD

are perpendicular to the tangent

CD

Pista grande:

\triangle ACE \sim \triangle BDE

; primero encuentra

CE

.

\triangle ACE \sim \triangle BDE

; first find

CE

Solución:

Como

AC \perp CD,

tenemos

CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}

= \sqrt{25 - 9}

= 4.

Como

\triangle ACE \sim \triangle BDE,

\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC},

así que

DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}.

Entonces

CD = CE + DE

= 4 + \frac{32}{3}

= \frac{44}{3}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since

AC \perp CD,

we have

CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}

= \sqrt{25 - 9}

= 4.

Because

\triangle ACE \sim \triangle BDE,

\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC},

so

DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}.

Then

CD = CE + DE

= 4 + \frac{32}{3}

= \frac{44}{3}.

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10A Problema 23

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 23 en otros años