Question

Las circunferencias con centros $A$ y $B$ tienen radios $3$ y $8,$ respectivamente. Una tangente interior común toca las circunferencias en $C$ y $D,$ como se muestra. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $E,$ y $AE = 5.$ ¿Cuánto vale $CD$ ?

Circles with centers $A$ and $B$ have radii $3$ and $8,$ respectively. A common internal tangent touches the circles at $C$ and $D,$ as shown. Lines $AB$ and $CD$ intersect at $E,$ and $AE = 5.$ What is $CD?$

$13$

$\dfrac{44}{3}$

$\sqrt{221}$

$\sqrt{255}$

$\dfrac{55}{3}$

Solución:

Como $AC \perp CD,$ tenemos $CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}$ $= \sqrt{25 - 9}$ $= 4.$

Como $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ $\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC},$ así que $DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}.$

Entonces $CD = CE + DE$ $= 4 + \frac{32}{3}$ $= \frac{44}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $AC \perp CD,$ we have $CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}$ $= \sqrt{25 - 9}$ $= 4.$

Because $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ $\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC},$ so $DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}.$

Then $CD = CE + DE$ $= 4 + \frac{32}{3}$ $= \frac{44}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años