Question

Los divisores enteros positivos $a$ y $b$ de $N$ se llaman complementarios si $ab = N.$ Dado que $N$ tiene un par de divisores complementarios que difieren en $20$ y un par de divisores complementarios que difieren en $23,$ halla la suma de los dígitos de $N.$

Positive integer divisors $a$ and $b$ of $N$ are called complementary if $ab = N.$ Given that $N$ has a pair of complementary divisors that differ by $20$ and a pair of complementary divisors that differ by $23,$ find the sum of the digits of $N.$

$11$

$13$

$15$

$17$

$19$

Solución:

Los divisores complementarios que difieren en $20$ son $b$ y $b + 20$ con producto $N$ , así que $N = b^2 + 20b$ y $N + 100 = (b + 10)^2$ . Un par que difiere en $23$ da $4N + 529 = (2d + 23)^2$ . Pon $N + 100 = k^2$ . Entonces $4k^2 + 129 = m^2$ , así que $(m - 2k)(m + 2k)$ $= 129$ $= 3 \cdot 43$ . El par de factores positivos $3,43$ da $k=10$ , y de ahí el valor inadmisible $N=0$ . El par $1,129$ da $m = 65$ , $k = 32$ , de donde $N = 32^2 - 100 = 924$ . Comprobación: $924 = 22 \cdot 42 = 21 \cdot 44$ , y la suma de dígitos es $9 + 2 + 4 = 15$ . Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Complementary divisors differing by $20$ are $b$ and $b + 20$ with product $N$ , so $N = b^2 + 20b$ and $N + 100 = (b + 10)^2$ . A pair differing by $23$ gives $4N + 529 = (2d + 23)^2$ . Set $N + 100 = k^2$ . Then $4k^2 + 129 = m^2$ , so $(m - 2k)(m + 2k)$ $= 129$ $= 3 \cdot 43$ . The positive factor pair $3,43$ gives $k=10$ , hence the inadmissible value $N=0$ . The pair $1,129$ gives $m = 65$ , $k = 32$ , hence $N = 32^2 - 100 = 924$ . Check it: $924 = 22 \cdot 42 = 21 \cdot 44$ , and the digit sum is $9 + 2 + 4 = 15$ . Thus, C is the correct answer.

2023 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años