Question

Una progresión aritmética tiene $n \ge 3$ términos, término inicial $a,$ y diferencia común $d \gt 1.$ Carl escribió correctamente todos los términos de esta progresión salvo uno, que quedó desviado en $1.$ La suma de los términos que escribió fue $222.$ ¿Cuánto valía $a + d + n$ ?

An arithmetic sequence has $n \ge 3$ terms, initial term $a,$ and common difference $d \gt 1.$ Carl wrote down all the terms in this sequence correctly except for one term, which was off by $1.$ The sum of the terms he wrote was $222.$ What was $a + d + n?$

$24$

$20$

$22$

$28$

$26$

Solución:

La suma verdadera es $S = na + \frac{n(n-1)}{2}d$ . Como un término está desviado en $1$ , el total escrito satisface $222 = S \pm 1$ , así que $S = 221$ o $223$ . Además $2S = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr)$ , así que $n$ divide a $2S$ . Como $a \ge 1$ y $d \ge 2$ , tenemos $2S \ge 2n^2$ , de donde $n^2 \le S$ . Para $S = 223$ , ningún divisor de $446$ está entre $3$ y $\sqrt{223}$ . Para $S = 221 = 13 \cdot 17$ , el único divisor de $442$ en este rango es $n = 13$ . Así $2a + 12d = 34$ , o $a + 6d = 17$ . Como $a$ y $d$ son enteros positivos con $d \gt 1$ , obtenemos $a = 5$ , $d = 2$ . Entonces $a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20$ . Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The true sum is $S = na + \frac{n(n-1)}{2}d$ . Since one term is off by $1$ , the written total satisfies $222 = S \pm 1$ , so $S = 221$ or $223$ . Also $2S = n\bigl(2a + (n-1)d\bigr)$ , so $n$ divides $2S$ . Since $a \ge 1$ and $d \ge 2$ , we have $2S \ge 2n^2$ , hence $n^2 \le S$ . For $S = 223$ , no divisor of $446$ lies between $3$ and $\sqrt{223}$ . For $S = 221 = 13 \cdot 17$ , the only divisor of $442$ in this range is $n = 13$ . Thus $2a + 12d = 34$ , or $a + 6d = 17$ . Since $a$ and $d$ are positive integers with $d \gt 1$ , we get $a = 5$ , $d = 2$ . Then $a + d + n = 5 + 2 + 13 = 20$ . Thus, B is the correct answer.

2023 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años