Question

Cada cara de un cubo se pinta de rojo o de azul, cada color con probabilidad $\tfrac12.$ El color de cada cara se determina de forma independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que el cubo pintado se pueda colocar sobre una superficie horizontal de modo que las cuatro caras verticales sean todas del mismo color?

Each face of a cube is painted either red or blue, each with probability $\tfrac12.$ The color of each face is determined independently. What is the probability that the painted cube can be placed on a horizontal surface so that the four vertical faces are all the same color?

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{5}{16}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{7}{16}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

Fijando la orientación, hay $2^6 = 64$ coloraciones.

Una coloración funciona si las seis caras coinciden ( $2$ formas), si exactamente cinco coinciden ( $\binom{6}{5} \cdot 2 = 12$ formas), o si cuatro caras comparten un color y el par restante son caras opuestas del otro color ( $3$ pares opuestos, $2$ colores, lo que da $6$ formas).

El total es $2 + 12 + 6 = 20,$ así que la probabilidad es $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Fixing the orientation, there are $2^6 = 64$ colorings.

A coloring works if all six faces match ( $2$ ways), exactly five match ( $\binom{6}{5} \cdot 2 = 12$ ways), or four faces share a color with the remaining pair being opposite faces of the other color ( $3$ opposite pairs, $2$ colors, giving $6$ ways).

The total is $2 + 12 + 6 = 20,$ so the probability is $\dfrac{20}{64} = \dfrac{5}{16}.$

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años