Question

La hormiga Amelia parte de la recta numérica en $0$ y se arrastra de la siguiente manera. Para $n=1,2,3,$ Amelia elige una duración de tiempo $t_n$ y un incremento $x_n$ de forma independiente y uniforme al azar del intervalo $(0,1).$ Durante el $n$ -ésimo paso del proceso, Amelia se mueve $x_n$ unidades en la dirección positiva, usando $t_n$ minutos. Si el tiempo total transcurrido ha superado $1$ minuto durante el $n$ -ésimo paso, se detiene al final de ese paso; de lo contrario, continúa con el siguiente paso, dando a lo sumo $3$ pasos en total. ¿Cuál es la probabilidad de que la posición de Amelia cuando se detenga sea mayor que $1$ ?

Ant Amelia starts on the number line at $0$ and crawls in the following manner. For $n=1,2,3,$ Amelia chooses a time duration $t_n$ and an increment $x_n$ independently and uniformly at random from the interval $(0,1).$ During the $n$ th step of the process, Amelia moves $x_n$ units in the positive direction, using up $t_n$ minutes. If the total elapsed time has exceeded $1$ minute during the $n$ th step, she stops at the end of that step; otherwise, she continues with the next step, taking at most $3$ steps in all. What is the probability that Amelia’s position when she stops will be greater than $1?$

$\dfrac 13$

$\dfrac 12$

$\dfrac 23$

$\dfrac 34$

$\dfrac 56$

Solución:

El tiempo de parada depende solo de las variables de tiempo, mientras que la posición final depende solo de las variables de distancia, así que las probabilidades correspondientes se multiplican.

Para dos números independientes en $(0,1),$ la probabilidad de que su suma sea menor que $1$ es el área de un triángulo rectángulo, a saber $\frac12.$

Para tres números independientes en $(0,1),$ la probabilidad de que su suma sea menor que $1$ es el volumen de un tetraedro con intersecciones de lado $1,$ a saber $\frac16.$

Si $t_1+t_2>1,$ Amelia se detiene después de dos pasos. Esto tiene probabilidad $\frac12,$ e independientemente $x_1+x_2>1$ tiene probabilidad $\frac12,$ contribuyendo $\frac14.$

Si $t_1+t_2<1,$ Amelia da el tercer paso. Esto tiene probabilidad $\frac12,$ e independientemente $x_1+x_2+x_3>1$ tiene probabilidad $1-\frac16=\frac56,$ contribuyendo $\frac5{12}.$

La probabilidad total es $\frac14+\frac5{12}=\frac23.$

Así, la respuesta es C.

The stopping time depends only on the time variables, while the final position depends only on the distance variables, so the corresponding probabilities multiply.

For two independent numbers in $(0,1),$ the probability that their sum is less than $1$ is the area of a right triangle, namely $\frac12.$

For three independent numbers in $(0,1),$ the probability that their sum is less than $1$ is the volume of a tetrahedron with side intercepts $1,$ namely $\frac16.$

If $t_1+t_2>1,$ Amelia stops after two steps. This has probability $\frac12,$ and independently $x_1+x_2>1$ has probability $\frac12,$ contributing $\frac14.$

If $t_1+t_2<1,$ Amelia takes the third step. This has probability $\frac12,$ and independently $x_1+x_2+x_3>1$ has probability $1-\frac16=\frac56,$ contributing $\frac5{12}.$

The total probability is $\frac14+\frac5{12}=\frac23.$

Thus, the answer is C .

2022 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años