Question

A un cubo unitario sólido de madera se le corta un tetraedro sólido mediante un plano que pasa por dos vértices no adyacentes de una cara y por un vértice de la cara opuesta que no es adyacente a ninguno de los dos primeros. El tetraedro se descarta y la porción restante del cubo se coloca sobre una mesa con la superficie del corte hacia abajo. ¿Cuál es la altura de este objeto?

A solid tetrahedron is sliced off a solid wooden unit cube by a plane passing through two nonadjacent vertices on one face and one vertex on the opposite face not adjacent to either of the first two vertices. The tetrahedron is discarded and the remaining portion of the cube is placed on a table with the cut surface face down. What is the height of this object?

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}$

$1$

$\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sqrt{2}$

Solución:

El tetraedro descartado tiene como una base un triángulo rectángulo isósceles de cateto $1$ y altura $1$ , así que su volumen es $\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot1=\dfrac16$ .

La cara del corte es un triángulo equilátero de lado $\sqrt2$ , así que su área es $\dfrac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}{2}$ . Si $h$ es la altura desde el vértice opuesto hasta esta cara, entonces $\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot h=\dfrac16$ , de donde $h=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .

La diagonal completa del cubo tiene longitud $\sqrt3$ . Después de quitar el tetraedro y colocar la cara del corte hacia abajo, la altura es $\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The discarded tetrahedron has a right isosceles triangle of leg $1$ as one base and height $1$ , so its volume is $\dfrac13\cdot\dfrac12\cdot1=\dfrac16$ .

The cut face is an equilateral triangle of side $\sqrt2$ , so its area is $\dfrac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2=\dfrac{\sqrt3}{2}$ . If $h$ is the height from the opposite vertex to this cut face, then $\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot h=\dfrac16$ , so $h=\dfrac{\sqrt3}{3}$ .

The full cube diagonal has length $\sqrt3$ . After the tetrahedron is removed and the cut face is placed down, the height is $\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$ .

Thus, D is the correct answer.

2012 AMC 10B Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años