Question

Un cuadrado de lado $8$ está sin sombrear excepto por $4$ regiones triangulares rectángulas isósceles sombreadas con catetos de longitud $2$ en cada esquina del cuadrado y un rombo sombreado de lado $2\sqrt{2}$ en el centro del cuadrado, como se muestra en el diagrama.

Una moneda circular de diámetro $1$ se deja caer sobre el cuadrado y cae en una posición aleatoria en la que la moneda queda completamente contenida dentro del cuadrado. La probabilidad de que la moneda cubra parte de la región sombreada del cuadrado se puede escribir como $\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right)$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos. ¿Cuánto vale $a+b$ ?

A square with side length $8$ is unshaded except for $4$ shaded isosceles right triangular regions with legs of length $2$ in each corner of the square and a shaded diamond with side length $2\sqrt{2}$ in the center of the square, as shown in the diagram.

A circular coin with diameter $1$ is dropped onto the square and lands in a random location where the coin is completely contained within the square. The probability that the coin will cover part of the shaded region of the square can be written as $\frac{1}{196}\left(a+b\sqrt{2}+\pi\right),$ where $a$ and $b$ are positive integers. What is $a+b?$

$64$

$66$

$68$

$70$

$72$

Solución:

La moneda tiene radio $\frac12$ , así que su centro se distribuye uniformemente sobre un cuadrado de $7\times7$ de área $49$ .

Un triángulo sombreado de una esquina aporta el conjunto de posiciones del centro a distancia $\frac12$ de ese triángulo, dentro del cuadrado de centros permitido. Para cada esquina esto es un triángulo rectángulo isósceles cuya altura es $\frac{1+\sqrt2}{2}$ , así que su área es

$\left(\frac{1+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt2}{4}.$

Las cuatro esquinas aportan $3+2\sqrt2$ .

El rombo sombreado central es un cuadrado de lado $2\sqrt2$ . Al expandirlo una distancia $\frac12$ se añaden cuatro rectángulos de área total $4\sqrt2$ y cuatro cuartos de círculo de área total $\frac\pi4$ , además del área del rombo $8$ . Así, la contribución del centro es

$8+4\sqrt2+\frac\pi4.$

El área favorable es

$\begin{aligned} &3+2\sqrt2+8+4\sqrt2+\frac\pi4 \\ &=11+6\sqrt2+\frac\pi4. \end{aligned}$

La probabilidad es

$\begin{aligned} &\frac{11+6\sqrt2+\frac\pi4}{49} \\ &=\frac{44+24\sqrt2+\pi}{196}. \end{aligned}$

Así que $a+b=44+24=68$ .

Por lo tanto, la respuesta es C.

The coin has radius $\frac12$ , so its center is uniformly distributed over a $7\times7$ square of area $49$ .

A shaded corner triangle contributes the set of center positions within distance $\frac12$ of that triangle, inside the allowed center square. For each corner this is a right isosceles triangle whose altitude is $\frac{1+\sqrt2}{2}$ , so its area is

$\left(\frac{1+\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{3+2\sqrt2}{4}.$

All four corners contribute $3+2\sqrt2$ .

The center shaded diamond is a square of side $2\sqrt2$ . Expanding it by distance $\frac12$ adds four rectangles of total area $4\sqrt2$ and four quarter-circles of total area $\frac\pi4$ , in addition to the diamond's area $8$ . Thus the center contribution is

$8+4\sqrt2+\frac\pi4.$

The favorable area is

$\begin{aligned} &3+2\sqrt2+8+4\sqrt2+\frac\pi4 \\ &=11+6\sqrt2+\frac\pi4. \end{aligned}$

The probability is

$\begin{aligned} &\frac{11+6\sqrt2+\frac\pi4}{49} \\ &=\frac{44+24\sqrt2+\pi}{196}. \end{aligned}$

So $a+b=44+24=68$ .

Thus, the answer is C .

2021 AMC 10B Spring Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años