Question

Travis tiene que cuidar a los terribles trillizos Thompson. Sabiendo que les encantan los números grandes, Travis les inventa un juego de conteo. Primero Tadd dirá el número $1,$ luego Todd debe decir los dos números siguientes ( $2$ y $3$ ), luego Tucker debe decir los tres números siguientes ( $4,$ $5,$ $6$ ), luego Tadd debe decir los cuatro números siguientes ( $7,$ $8,$ $9,$ $10$ ), y el proceso continúa rotando entre los tres niños en orden, diciendo cada uno un número más que el niño anterior, hasta llegar al número $10,000$ . ¿Cuál es el $2019$ o número dicho por Tadd?

Travis has to babysit the terrible Thompson triplets. Knowing that they love big numbers, Travis devises a counting game for them. First Tadd will say the number $1,$ then Todd must say the next two numbers ( $2$ and $3$ ), then Tucker must say the next three numbers ( $4,$ $5,$ $6$ ), then Tadd must say the next four numbers ( $7,$ $8,$ $9,$ $10$ ), and the process continues to rotate through the three children in order, each saying one more number than the previous child did, until the number $10,000$ is reached. What is the $2019$ th number said by Tadd?

$5743$

$5885$

$5979$

$6001$

$6011$

Solución:

Tadd habla en turnos de longitudes $1,4,7,\ldots$ . Después de $n$ turnos de Tadd, ha dicho $\sum_{i=1}^n (3i-2)=\frac{3n^2-n}{2}$ números.

Para $n=36$ , este total es $1926$ , mientras que para $n=37$ es $2035$ . Por lo tanto, el $2019$ o número de Tadd es el $(2019-1926)=93$ o número de su $37$ o turno.

Antes de ese turno, los niños han completado turnos de longitudes $1$ hasta $108$ , diciendo $1+2+\cdots+108=5886$ números. El $93$ o número del siguiente turno es $5886+93=5979$ . Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Tadd speaks on turns of lengths $1,4,7,\ldots$ . After $n$ of Tadd\'s turns, he has said $\sum_{i=1}^n (3i-2)=\frac{3n^2-n}{2}$ numbers.

For $n=36$ , this total is $1926$ , while for $n=37$ it is $2035$ . Therefore Tadd\'s $2019$ th number is the $(2019-1926)=93$ rd number of his $37$ th turn.

Before that turn, the children have completed turns of lengths $1$ through $108$ , saying $1+2+\cdots+108=5886$ numbers. The $93$ rd number of the next turn is $5886+93=5979$ . Thus, C is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 23

Solución:

El Problema 23 en otros años