Question

Sean $p$ , $q$ y $r$ las raíces distintas del polinomio $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ Se sabe que existen números reales $A$ , $B$ y $C$ tales que $\dfrac{1}{s^3 - 22s^2 + 80s - 67} =$ $\dfrac{A}{s-p} + \dfrac{B}{s-q} + \dfrac{C}{s-r}$ para todo $s\not\in\{p,q,r\}.$ ¿Cuánto vale $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C$ ?

Let $p,$ $q,$ and $r$ be the distinct roots of the polynomial $x^3 - 22x^2 + 80x - 67.$ It is given that there exist real numbers $A,$ $B,$ and $C$ such that $\dfrac{1}{s^3 - 22s^2 + 80s - 67} =$ $\dfrac{A}{s-p} + \dfrac{B}{s-q} + \dfrac{C}{s-r}$ for all $s\not\in\{p,q,r\}.$ What is $\dfrac1A+\dfrac1B+\dfrac1C?$

$243$

$244$

$245$

$246$

$247$

Solución:

Podemos multiplicar cada lado por $(s - p)(s - q)(s - r)$ para obtener $\begin{aligned} &A(s - q)(s - r) \\ &\quad {}+ B(s - p)(s - r) \end{aligned}$ $+ C(s - p)(s - q) = 1.$

Podemos desarrollar para obtener $s^2(A + B + C) - s \cdot$ $\small (Aq + Ar + Bp + Br + Cp + Cq)$ $+ (Aqr + Bpr + Cpq - 1) = 0.$

Observa que los coeficientes de $s$ y $s^2$ deben ser ambos $0.$

De $A + B + C = 0, \tag*{(1)}$ obtenemos $A = -(B + C),$ $B = -(A + C),$ y $C = -(A + B).$

Sustituyendo esto en el coeficiente de $s,$ obtenemos $Ap + Bq + Cr = 0.$

Restando $(1) \cdot r$ de esta ecuación, obtenemos $A(p - r) + B(q - r) = 0 (2)$ También sabemos que $Aqr + Bpr + Cpq = 1.$ Restando $(1) \cdot pq$ de esta ecuación, obtenemos $Aq(r - p) + Bp(r - q) = 1.$

Sumando $(2) \cdot p$ a esta ecuación, obtenemos $A(r - p)(q - p) = 1,$ lo que nos da $A = \dfrac{1}{(r - p)(q - p)}.$

De manera similar, obtenemos $B = \dfrac{1}{(r - q)(p - q)}$ y $C = \dfrac{1}{(q - r)(p - r)}.$

Esto nos da $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} =$ $p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr.$

Usando las fórmulas de Vieta, $p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 -$ $2(pq + qr + pr) = 324.$ Además, dado que $pq + qr + pr = 80,$ obtenemos el valor deseado de $324 - 80 = 244.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can multiply each side by $(s - p)(s - q)(s - r)$ to get $\begin{aligned} &A(s - q)(s - r) \\ &\quad {}+ B(s - p)(s - r) \end{aligned}$ $+ C(s - p)(s - q) = 1.$

We can expand to get $s^2(A + B + C) - s \cdot$ $\small (Aq + Ar + Bp + Br + Cp + Cq)$ $+ (Aqr + Bpr + Cpq - 1) = 0.$

Note that the coefficients of $s$ and $s^2$ must both be $0.$

From $A + B + C = 0, \tag*{(1)}$ we get $A = -(B + C),$ $B = -(A + C),$ and $C = -(A + B).$

Plugging this into the coefficient of $s,$ we get $Ap + Bq + Cr = 0.$

Subtracting $(1) \cdot r$ from this equation, we get $A(p - r) + B(q - r) = 0 (2)$ We also know that $Aqr + Bpr + Cpq = 1.$ Subtracting $(1) \cdot pq$ from this equation, we get $Aq(r - p) + Bp(r - q) = 1.$

Adding $(2) \cdot p$ to this equation, we get $A(r - p)(q - p) = 1,$ which gets us $A = \dfrac{1}{(r - p)(q - p)}.$

Similarly, we get $B = \dfrac{1}{(r - q)(p - q)}$ and $C = \dfrac{1}{(q - r)(p - r)}.$

This gives us $\dfrac{1}{A} + \dfrac{1}{B} + \dfrac{1}{C} =$ $p^2 + q^2 + r^2 - pq - qr - pr.$

Using Vieta's formulas, we get $p^2 + q^2 + r^2 = (p + q + r)^2 -$ $2(pq + qr + pr) = 324.$ Finally, since $pq + qr + pr = 80,$ we get our desired value of $324 - 80 = 244.$

Thus, B is the correct answer.

2019 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años