Sumar las ecuaciones nos da
2(a2+b2+c2)−2(ab+ac+bc) =14.Podemos agrupar términos y factorizar esto para obtener
(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2 =14.Observa que cada término del lado izquierdo es un cuadrado entero no negativo. La única terna de cuadrados que suma
14 es
9,4, y
1.Tenemos que
a−c es la mayor diferencia entre los tres pares. Por lo tanto,
a−c=3.No podemos discernir cuál de los otros términos corresponde a cada cuadrado. Probemos
a−b=1 y
b−c=2.Sustituir estos valores en la primera ecuación nos da
a2−(a−1)2−(a−3)2 +a(a−1)=2011. Al simplificar se obtiene
7a=2021. Como
2021 no es divisible por
7, tenemos que
a−b=2 y
b−c=1.En el otro caso,
b=a−2 y
c=a−3. La primera ecuación se convierte en
a2−(a−2)2−(a−3)2+a(a−2)=2011, es decir,
8a−13=2011. De ahí que
a=253.Por lo tanto, E es la respuesta correcta.
Adding together the equations gives us
2(a2+b2+c2)−2(ab+ac+bc)=14.We can group terms and factor this to get
(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=14.Note that every term on the left hand side is a nonnegative square integer. The only triple of squares that add to
14 is
9,4, and
1.We have that
a−c is the biggest difference among the three pairs. Therefore,
a−c=3.We cannot discern which of the other terms we can match with the other squares. Let us try
a−b=1 and
b−c=2.Plugging in these values into the first equation gives us
a2−(a−1)2−(a−3)2 +a(a−1)=2011. Simplifying yields
7a=2021. Since
2021 is not divisible by
7, we have that
a−b=2 and
b−c=1.In the other case,
b=a−2 and
c=a−3. The first equation becomes
a2−(a−2)2−(a−3)2+a(a−2)=2011, or
8a−13=2011. Hence
a=253.Thus, E is the correct answer.
