Question

Llamamos justo a un entero positivo si ningún dígito se usa más de una vez, no tiene $0$ s, y ningún dígito es adyacente a dos dígitos mayores. Por ejemplo, $23, 196,$ y $12463$ son justos, pero $1546, 320,$ y $34321$ no lo son. ¿Cuántos enteros positivos justos hay?

Call a positive integer fair if no digit is used more than once, it has no $0$ s, and no digit is adjacent to two greater digits. For example, $23, 196,$ and $12463$ are fair, but $1546, 320,$ and $34321$ are not. How many fair positive integers are there?

$511$

$2{,}584$

$9{,}841$

$17{,}711$

$19{,}682$

Solución:

En un número justo los dígitos suben hasta el dígito más grande $m$ y luego bajan; de lo contrario algún dígito quedaría atrapado entre dos mayores. Así que contamos por tamaño. Para $k$ dígitos, elige el conjunto de dígitos de $1$ a $9$ de $\binom{9}{k}$ formas. El más grande es $m,$ y cada uno de los $k - 1$ dígitos restantes elige situarse a la izquierda o a la derecha de $m$ ( $2^{k-1}$ formas), lo que determina el número. Suma sobre $k$ : $\sum_{k=1}^{9}\binom{9}{k}2^{k-1}$ $= \tfrac12\big((1 + 2)^9 - 1\big)$ $= \tfrac{3^9 - 1}{2}$ $= 9841.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

In a fair number the digits climb up to the largest digit $m$ and then fall; otherwise some digit would be trapped between two bigger ones. So count by size. For $k$ digits, pick the digit set from $1$ to $9$ in $\binom{9}{k}$ ways. The largest is $m,$ and each of the remaining $k - 1$ digits chooses to sit left or right of $m$ ( $2^{k-1}$ ways), which pins down the number. Sum over $k$ : $\sum_{k=1}^{9}\binom{9}{k}2^{k-1}$ $= \tfrac12\big((1 + 2)^9 - 1\big)$ $= \tfrac{3^9 - 1}{2}$ $= 9841.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10A Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años