Question

Un entero positivo $n$ es "bonito" si existe un entero positivo $m$ con exactamente cuatro divisores positivos (incluidos $1$ y $m$ ) tal que la suma de los cuatro divisores es igual a $n.$ ¿Cuántos números del conjunto $\{ 2010,2011,2012,\dotsc,2019 \}$ son bonitos?

A positive integer $n$ is "nice" if there is a positive integer $m$ with exactly four positive divisors (including $1$ and $m$ ) such that the sum of the four divisors is equal to $n.$ How many numbers in the set $\{ 2010,2011,2012,\dotsc,2019 \}$ are nice?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Un entero con exactamente cuatro divisores positivos es de la forma $p^3$ o $pq$ , donde $p$ y $q$ son primos distintos.

Si $m=p^3$ , la suma de divisores es $1+p+p^2+p^3$ . Los valores para $p=11$ y $p=13$ caen por debajo y por encima del intervalo $2010$ a $2019$ , así que este caso no da ninguno.

En el caso $m=pq$ , la suma de divisores es $1+p+q+pq=(p+1)(q+1)$ . Si uno de los primos es $2$ , la suma es divisible entre $3$ ; solo $2010$ y $2016$ cumplen, pero $2010/3-1=669$ y $2016/3-1=671$ no son primos.

Si ambos primos son impares, entonces la suma es divisible entre $4$ , lo que deja $2012$ y $2016$ . La factorización $2012=4\cdot503$ daría los primos $3$ y $502$ , imposible, mientras que $2016=4\cdot504$ $=(3+1)(503+1)$ sí funciona.

Así, exactamente un número es bonito, y la respuesta correcta es A.

An integer with exactly four positive divisors is either $p^3$ or $pq$ , where $p$ and $q$ are distinct primes.

If $m=p^3$ , the divisor sum is $1+p+p^2+p^3$ . The values for $p=11$ and $p=13$ fall below and above the interval $2010$ to $2019$ , so this case gives none.

In the $m=pq$ case, the divisor sum is $1+p+q+pq=(p+1)(q+1)$ . If one prime is $2$ , the sum is divisible by $3$ ; only $2010$ and $2016$ qualify, but $2010/3-1=669$ and $2016/3-1=671$ are not prime.

If both primes are odd, then the sum is divisible by $4$ , leaving $2012$ and $2016$ . The factorization $2012=4\cdot503$ would give primes $3$ and $502$ , impossible, while $2016=4\cdot504$ $=(3+1)(503+1)$ works.

Thus exactly one number is nice, and the correct answer is A .

2013 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años