Question

Los círculos con centros en $O$ y $P$ tienen radios $2$ y $4,$ respectivamente, y son tangentes exteriormente. Los puntos $A$ y $B$ en el círculo de centro $O$ y los puntos $C$ y $D$ en el círculo de centro $P$ son tales que $\overline{AD}$ y $\overline{BC}$ son tangentes exteriores comunes a los círculos. ¿Cuál es el área del hexágono cóncavo $AOBCPD$ ?

Circles with centers at $O$ and $P$ have radii $2$ and $4,$ respectively, and are externally tangent. Points $A$ and $B$ on the circle with center $O$ and points $C$ and $D$ on the circle with center $P$ are such that $\overline{AD}$ and $\overline{BC}$ are common external tangents to the circles. What is the area of the concave hexagon $AOBCPD?$

$18\sqrt{3}$

$24\sqrt{2}$

$36$

$24\sqrt{3}$

$32\sqrt{2}$

Solución:

El hexágono es simétrico respecto a $\overline{OP},$ así que su área es el doble de la del trapecio $AOPD.$

Traza $OF\parallel AD$ con $F$ sobre $\overline{PD}.$ Entonces $AOFD$ es un rectángulo, así que $DF=OA=2$ y $FP=PD-DF=4-2=2.$

Como los círculos son tangentes exteriormente, $OP=2+4=6,$ así que en el triángulo rectángulo $OFP,$ $OF=\sqrt{36-4}=4\sqrt2.$

El trapecio $AOPD$ tiene lados paralelos $OA=2$ y $PD=4$ con altura $OF=4\sqrt2,$ lo que da un área de $\tfrac12(2+4)(4\sqrt2)=12\sqrt2.$ El área del hexágono es $2\cdot12\sqrt2=24\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The hexagon is symmetric about $\overline{OP},$ so its area is twice that of trapezoid $AOPD.$

Draw $OF\parallel AD$ with $F$ on $\overline{PD}.$ Then $AOFD$ is a rectangle, so $DF=OA=2$ and $FP=PD-DF=4-2=2.$

Since the circles are externally tangent, $OP=2+4=6,$ so in right triangle $OFP,$ $OF=\sqrt{36-4}=4\sqrt2.$

Trapezoid $AOPD$ has parallel sides $OA=2$ and $PD=4$ with height $OF=4\sqrt2,$ giving area $\tfrac12(2+4)(4\sqrt2)=12\sqrt2.$ The hexagon area is $2\cdot12\sqrt2=24\sqrt2.$

Thus, the correct answer is B.

2006 AMC 10B Problema 24

Solución:

El Problema 24 en otros años